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sehr klein sind, so geht das sphärische Dreieck in ein ebenes über und? ist grösser als r. Daraus erkennt man, dass, wenn! von 0° an wächst, die Zunahme von? zunächst grösser ist als die ent- sprechende Zunahme von r. r— l wird also zunächst negativ. Nun ist aber für 7= 90° auch = 90⁰° Daraus folgt, dass wenn! sich dem Werte 90° nähert, die Zunahme von? kleiner sein muss als die entsprechende Zunahme von r, da r den Vorsprung, den! allmählich erlangt hat, wieder einholen muss. Bei einem bestimmten Werte von!, der zwischen 0° und 90° liegt, muss „r— 1 sein Minimum erreichen, nämlich dann, wenn für einen Augenblick die Zunahme von ꝛ ebenso gross ist wie die entsprechende Zunahme von l. Hat 7 den so bestimmten Wert über- schritten, so wird—! wieder zunehmen und schliesslich bei 7= 90° den Wert Null erreichen. Es soll nun zunächst der Wert von!, für den—l sein Minimum erhält, und der Betrag des Minimums selbst bestimmt werden. Am einfachsten geschieht dies durch Differentialrechnung. Wenn man die Gleichung tg r— tg?(08£ logarithmiert und differenziert, so erhält man

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sin 2r sin 27 Nun muss aber für den gesuchten Wert de= d1 sein, also auch 8„

sin 27= Sin 2 7¼ folglich 27 † 27= 180° oder † 7= 900. Daher ist

tg⸗= cotg,= 39 und 1 coss tg*7, folglich t 1 91=— 5 Vcos 6 und r= 90 ⁰°— l.

Diese Entwickelung lässt sich auch ganz elementar in folgender Weise darstellen.

Ist! die gesuchte Länge, so muss, wie schon angegeben worden ist, eine unendlich kleine Zunahme von!(sie möge æ heissen) dieselbe Zunahme von r pewirken. ls müssen demnach folgende Gleichungen bestehen:

tgr= tg! cos« tg(+ z)= tg(1+ a) coss.

Nimmt man auf beiden Seiten die Logarithmen und subtrahiert, so ergibt sich

log tg(r+ x)— log tgr= log tg(1+)— log tgl. Das heisst: Die gesuchten Werte von? und? haben die Eigenschaft, dass, wenn sie denselben unendlich kleinen Zuwachs erhalten, auch log tg! und log tgr um gleiche Grössen zunehmen. Nun ersieht man aber aus der Logarithmentafel, dass die Zunahmen, die log tg« erfährt, wenn α um einen bestimmten kleinen Betrag(in der Tafel 1) wächst, nicht konstant sind, sondern von α= 0 bis α— 45° beständig abnehmen und von«= 45 bis«= 90° wieder zunehmen und nur für

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