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die centralen Kugelvectoren der Raumpunkte bilderzeugend und bestimmend sind, wegentlich entspricht.

Hiernach ist leicht zu beurtheilen, in welchem Masse jede de beiden Projectionsmechoden der Raumanschauung zu Hülfe kommt. Die orthogonale scheint zunächst den unbedingten Vor- zug zu verdienen. Sie liefert zwei directe Bilder, die unserige ein directes und ein indirectes; das zweite directe, das Kugelbild des Originals ist nämlich in der Bildebene nicht darstellbar und muss, damit es überhaupt vertreten ist, selbst abgebildet, in die Bildebene projicirt werden; die directen Bilder aber sind im Allgemeinen dem Originale verwandter, als die indireeten. Hierzu kommt noch: In den orthogonalen Projectionen entsprechen den Geraden der Raumfigur auch wieder je zwei Gerade ihrer Projectionen, also zwei Gebilde derselben Art, in den unserigen dagegen entspricht je einer Geraden des Originals zwar auch eine Gerade seiner ersten, aber eine Ellipse seiner zweiten Projection; die Anschauung aber gewinnt aus zwei geraden Bildern leichter das gerade Original, als aus einem geraden und einem, noch dazu indirecten, krummen Bilde; besonders deutlich wird dies, wenn wir uns die Constructionen vergegenwärtigen durch deren Vornahme die Anschauung aus den Bildern die Raumfigur darstellt. Aus den beiden orthogonalen Projectionen des Kreises z. B. erhält sie den Kreis selbst als Schnittcurve zweier cylindrischen Flächen, deren Leitlinien die Projectionen sind und deren Seitenlinien auf den Ebenen der letzteren senkrecht stehen; bei unserem Bildflächensysteme aber führen von den Projectionen zum Originale zwei cylindrische Flächen und eine conische; die erste cylindrische hat die erste Projection zur Leitlinie und Senkrechte zur Bildebene zu Seitenlinien; die Leitcurve der zweiten ist die zweite Projection, ihre Seitenlinien sind ebenfalls Senkrechte zur Bildebene; die conische Fläche hat ihre Spitze im Mittelpunkte der Bildkugel, ihre Leitcurve ist die Schnittlinie der zweiten coui- schen Fläche mit der Bildkugel— das Original endlich ist die Schnittcurve der conischen und der ersten cylindrischen Fläche.

Wenn aus dem Allen hervorgeht, dass die Raumanschauung von unserer awoiten, Projection nur wenig gefördert wird, so muss doch auch bemerkt werden, dass sie derselben ihrer ganzen Ausführung nach nicht bedarf, dass vielmehr in fast allen Fällen eine beschränkte Zahl von Kreispunkten des Originals— vielfach reicht ein einziger aus— in Verbindung mit seiner ersten Projection in einfacher Weise eine Vorstellung desselben ermöglicht. In Fig. 3 ist g die erste Projection einer Geraden, s ihre Spur; nehmen wir hierzu zwei Bestimmungspunkte py und po irgend eines Punktes p der Geraden, so gewinnt ans den letzteren die Anschauung ohne Weiteres den Raumpunkt p und damit die Gerade g selbst, ohne dass dazu die gesammte zweite Projection derselben, die Ellipse irgendwie in Anspruch gefommen werden muss. Unsere Bestimmungsweise der Ebene durch zwei Punkte ist jedenfalls einfacher, als ihre Festlegung durch zwei Geraden, ihre Spuren bei den orthogonalen Projectionen; wenn dem gegenüber darauf hingewiesen werden kann, dass die letztere Bestimmungsweise anschaulicher ist, so erinnern wir daran, dass in der ausgebreiteten Ebene die Spuren nicht ihre wahre Lage zu einander haben, sondern erst durch eine Drehung um die X-Axe in dieselbe gebracht werden müssen. In Fig. 8 geben die den End- punkten an und in der kleinen Axe der Kreisprojection entsprechenden Kreispunkte a, und i, die Raumpunkte a und i und mit ihnen und der gesammten ersten Projection eine klare Vorstellung von dem Kreise selbst, wiederum ohne dass hierzu seine ganze zweite Projection erforderlich ist. Aehnliches gilt von den Körpern: Um beispielsweise eine klare Vorstellung von Pyramiden und Kegeln im Raume zu gewinnen, genügen ausser den ersten Projectionen und je zweien Kreis-