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4) Die Projectionen der Schnitte ebener gebrochener Flächen, also der Oberflächen irgend welcher Polyeder, lassen sich ohne Ausnahme durch wiederholte Lösung der Aufgabe 15, pag. 12 construiren; wir suchen also die Projectionen der Schnittgeraden ihrer Seitenflächen und behalten nur die Stücke bei, welche zweien Seitenflächen zugleich angehören; da die Lösung der ange- führten Aufgabe bei unserem Bildflächensysteme umständlicher als bei dem orthogonalen ist, 80 sind in vielen Fällen weitläufige Constructionen unvermeidlich.

Die Auffindung der Projectionen der Schnittcurven beliebiger gesetzmässig gestalteter Flächen geschieht wie bei den orthogonalen Projectionen durch eine Verallgemeinerung der unter 1)— 3) gegebenen Constructionen; auch hier wählen wir Hülfsflächen— in zahlreichen Fällen können sie passend angenommene Hülfsebenen sein— welche beide Flächen nach bequem angebbaren Curven schneiden und bestimmen deren Schnittpunkte. Die Abänderungen, welche in der Aus- führung durch unser Bildflächensystem nothwendig werden, sind aus dem Vorigen zur Genüge erkenbar, weshalb wir auf hierher gehörige specielle Constructionen nicht weiter eingehen.

Durch die vorangegangenen Untersuchungen ist die Anwendbarkeit unserer Methode auf das gesammte Gebiet der darstellenden Geometrie dargethan. Sehen wir zu, in welcher Beziehung diese Methode zu der gewöhnlichen orthogonalen und der allgemeineren centralen Projection steht.

Wir bedienen uns einer Fläche ersten und einer Fläche zweiten Grades als Bildflächen, als der festen Raumgebilde, in Bezug auf welche alle übrigen festgelegt und in welchen sie abgebildet werden; die orthogonale Projection benutzt zu demselben Zwecke zwei senkrechte Ebenen, zwei Flächen ersten Grades. In beiden Methoden wird der Raumpunkt durch zwei Punkte bestimmt; sie liegen bei unserem Bildsysteme in einer Geraden, welche der Centralvector einer Curve zweiten Grades, des Schnittkreises der beiden festen Grundgebilde, ist; bei dem orthogonalen ebenfalls in einer Geraden, die ein Loth auf eine andere Gerade— die Schnittgerade der beiden festen Grundgebilde ist. Der zweite Bestimmungspunkt ist bei uns nicht das directe, sondern das in- directe Bild des Raumpunktes, nämlich das Bild seines zweiten Bildes, seines Kugelbildes— das Kugelbild läst sich eben nicht direct in der Ebene angeben, höchstens in dieselbe klappen, daher sein Ersatz durch sein Bild in der Ebene. Wir sehen also: Die Bildkugel spielt in unserem Systeme die der Verticalebene, der Grundkreis die der X-Axe des orthogonalen analoge Rolle; unsere Kugelbilder werden zu Verticalprojectionen, wenn der Radius der Bildkugel unendlich gross wird. 3

Wegen der Endlichkeit unserer zweiten Bildfläche haben nur eine beschränkte Zahl von Geraden des Raumes ausser der Spur in der Bildebene eine Kugelspur; es genügen daher zur Festlegung der Geraden nicht mehr ihre Spuren, sondern es sind dazu ausser der Spur oder den zwei Bestimmungspunkten irgend eines ihrer Punkte noch die zwei Bestimmungspunkte eines anderen Punktes erforderlich. Die Endlichkeit der zweiten Bildfläche zieht dann auch diejenige der zweiten Projection eines jeden unendlichen Gebildes nach sich, ihre Kugelgestalt macht die- jenige der Geradon zu einer Curve zweiten Grades. Auch von der Ebene existirt im Allgemeinen keine zweite Spur, daher ihre Festlegung durch die Bestimmungspunkte des Fusspunktes ihres normalen Centralkugelvectors, eine Festlegung, die dem gewählten Bildflächensysteme, für welches