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der ersten Projection desselben. Die übrigen Constructionen dieser Figur beziehen sich auf die zweite Lösung.

Auch die bei der orthogonalen Projection gebräuchliche Construction lässt sich mit geringer Abänderung hier anwenden. Dieselbe besteht bekanntlich in der Angabe eines Systems bequem gelegener Geraden in der gegebenen Ebene und der Bestimmung ihrer Schnittpunkte mit der Kugel; gewöhnlich wählt man dieselben so, dass sie entweder alle der Horizontal- oder der Verticalspur der Ebene parallel sind. Bei unserem Bildflächensysteme wählen wir dieselben am bequemsten so, dass sie dem Endschenkel des Neigungswinkels der gegebenen Ebene parallel sind; ihre ersten Projectionen stehen dann auf der Spur senkrecht und ihre Kugelschnittpunkte ergeben sich leicht wie folgt: die projicirenden Ebenen der Geraden schneiden die Kugeloberfläche nach einem System von Kreisen, deren Mittelpunkte auf dem der Spur parallelen Kugeldurchmesser liegen und deren erste Projectionen nach Grösse und Lage die von der ersten Projection der Kugel abgeschnittenen Stücke der Spuren jener Ebenen sind; gleichzeitig sind diese Stücke die Durchmesser der Schnittkreise und der Richtung nach die ersten Projectionen der Hülfsgeraden. Klappen wir die projicirenden Ebenen um ihre Spuren in die Horizontalebene und geben darin die jedesmal in ihnen gelegenen Schnittkreise und Hülfsgeraden an— was leicht möglich ist, da einerseits der Grundabstand des Kugelmittelpunkts derjenige der Mittelpunkte aller Schnittkreise ist und die Durchmesser der letzten nach obigem bekannt sind, während andererseits je eine Hülfsgerade der Endschenkel des Neigungswinkels der gegebenen Ebene ist— so sind die Schnitt- punkte der letzteren mit den ersteren die in die Bildebene geklappten Kugelschnittpunkte der Geraden; ihre Projectionen auf die zugehörigen ersten Projectionen der Geraden sind die ersten Projectionen der Punkte des Kugelschnitts; die zweiten Projectionen derselben ergeben sich aus ihren ersten und ihrem Grundabstande. Die wirkliche Ausführung der ganzen Construction wird ausserordentlich dadurch erleichtert, dass die umgeklappten Mittelpunkte der Schnittkreise in einer durch die erste Projection des Kugelmittelpunkts zur Spur der Ebene gezogenen Parallelen liegen und dass die umgeklappten Geraden sowie ihre Grundprojectionen parallel sind. In Fig. 10 sind: il die erste Projection einer Hülfsgeraden, al die umgeklappte Gerade, r der um- geklappte Mittelpunkt der zugehörigen Schnittkreise, also vr,= mm, o und a die umgeklappten Kugelschnittpunkte der Geraden al, on und n ihre ersten Projectionen; ihre zweiten ergeben sich aus ihren Grundabständen daaf und oos.

Das Verfahren, welches wir zur Construction der ebenen Schnitte bei den angeführten Fällen beobachteten, lässt sich auf die ebenen Schnitte aller gesetzmässig gestalteten Flächen an- wenden, sobald dieselben nach Massgabe unseres Bildflächensystems festgelegt sind. Sind diese Flächen z. B. Regelflächen, so benutzen wir die projicirenden Ebenen der ihnen eigenen Systeme von Geraden in derselben Weise, wie dies oben für die conischen und cylindrischen Flächen ge- schehen; andernfalls führen wir nach Analogie der bei den Kugelschnitten angewandten Con- structionen solche Ebenen als Hülfsebenen ein, welche bequem zu findende Flächenschnitte liefern und suchen deren Schnittpunkte mit der durch die Hülfsebene und die gegebene Ebene nach Aufgabe 15, pag. 12 bestimmten Geraden. Aber auch wenn solche bequeme Schnittcurven sich nicht darbieten sollten, sind wir doch immer mit Zuhülfenahme von II. b pag. 5 im Stande, eine genügende Anzahl von Punkten der Fläche zu finden, die gleichzeitig der gegebenen Ebene angehören; die Ordnung, in welcher dieselben am besten aufzusuchen sind, richtet sich nach der

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aus den Projectionen erkennbaren Beschaffenheit der Fläche.