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V. Projectionen der Schnittfiguren der Flächen unter einander.
1) Die ersten Projectionen der ebenen Schnitte der Oberflächen prismatischer und cylindri- scher Räume mit zur Horizontalebene senkrechten Seitenlinien sind die Spuren der Flächen, also unmittelbar mit ihren Projectionen gegeben, ihre zweiten Projectionen ergeben sich durch wiederholte Lösung der Aufgabe II. b) 1) pag. 5; ihre Gestalt und Grösse wird durch Um- klappen ihrer Punkte um ihre Spur in die Horizontalebene erhalten.
2) Die Projectionen der ebenen Schnitte conischer und pyramidaler, prismatischer und cylin- drischer Flächen werden unter Vornahme der durch unser System bedingten Abänderungen nach dem auch bei der orthogonalen Methode gebräuchlichen gemeinsamen Verfahren gefunden. Wir wählen als Beispiel den Schnitt einer conischen Fläche mit einer Ebene und deuten zum Schluss die für sonstige Fälle nöthigen Modificationen an.
Die conische Pläche sei durch ihre Grundspur, die in Fig. 9 der Einfachheit wegen ein Kreis ist, und durch die Bestimmungspunkte ihrer Spitze gegeben.
Jede zwei Seitenlinien enthaltende horizontal projicirende Ebene der Fläche schneidet die gegebene Ebene nach einer Geraden, deren Schnittpunkte mit den beiden Seitenlinien zwei Punkte der Schnittfigur sind; die Auffindung ihrer Projectionen geschieht nach Aufgabe 12. pag. 11. In der Figur sind sa und sb zwei um die Spur ihrer projicirenden Ebene umgeklappte Seiten- linien, SS, die umgeklappte Höhe; s, d ist das von 8, auf die gegebene Spurs gefällte Loth, S, p der aus ihm und dem Neigungswinkel der gegebenen Ebene construirte Grundabstand des Höhen- schnittpunkts p, pl die mit der projicirenden Ebene umgeklappte Schnittgerade derselben mit der gegebenen, 1 und 2 sind ihre Schnittpunkte mit den beiden Seitenlinien, 1, und 2, deren Horizontalprojectionen, 12 die zweite Projection des Punktes 1. Die Wiederholung dieses Ver- fahrens liefert beliebig viele Punkte der Projectionen des Schnitts.
Bei einer vollständigen Durchführung der Construction haben wir der Reihe nach auf allen Seitenlinien im Punkte s, Lothe zu errichten und auf ihnen den Grundabstand der Spitze S und des Höhenschnittpunkts p abzutragen; dies wird durch den Umstand bedeutend erleichtert, dass alle Punkte s und alle Punkte p auf zwei concentrischen Kreisen liegen, die um S, als Mittel- punkt mit den erwähnten beiden Grundabständen als Radien beschrieben sind und dass je zwei aufeinanderfolgende Lothe denselben Winkel einschliessen, wie die ersten Projectionen der ihnen zugehörigen Seitenlinien. Die Endpunkte der Lothe werden daher einfach erhalten, indem wir von dem Endpunkte des ersten Lothes an gerechnet der Reihe nach alle Bogen auf die beiden concentrischen Kreise abtragen, welche die ersten Projectionen der Seitenlinien direct oder ver- längert auf beiden Kreisen abschneiden; die Endpunkte der Bogen sind die der Lothe von dem gemeinschaftlichen Anfangspunkt“ S..
Das Verfahren bleibt für die ebenen Schnitte an pyramidalen Flächen dasselbe, nur be- schränkt sich die Zahl der zu Hülfe zu nehmenden projicirenden Ebenen auf die der Seitenlinien. Indesssen kann dieser Fall auch durch wiederholte Lösung der Aufgabe 15, pag. 12 erledigt werden, doch wird alsdann das Constructionsverfahren weitläufiger.