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senkrecht zur Spur s der Seitenfläche gelegt ist, die 3 Lothe aal, ai An und aa,, von welchen das erste und letzte den Neigungswinkel der Seitenfläche einschliessen und schneidet die Hori- zontalebene nach Aa, 1 s. Zur Bestimmung der Strecke Awa, und damit des Punktes au ziehen wir zu ihr eine Parallele amb durch ar; dann ist alb= A a, Kathete in dem aus alab= a und aar construirtem rechtwinkeligen Dreiecke arab; die andere Kathete ab vermehrt um ar A gibt den Grundabstand des Punktes a, wonach auch seine zweite Projection gefunden werden kann. Gleiches gilt für die übrigen Eckpunkte.
Die Projectionen der übrigen regulären Polyeder können in ähnlicher Weise construirt werden.
Die regelmässigen Pyramiden und Prismen, die geraden Kegel und Cylinder sind bestimmt durch ihre Grundfläche und die Länge und Richtung der Axe. Die Projectionen der Grundfläche werden nach IV. a) angegeben; die erste Projection der Axe ist dem Grundvector des Normalkugel- vectors der Grundfläche parallel und der Länge nach zu finden mit Hülfe des um seine Spur in die Horizontalebene geklappten der projicirenden Ebene des Normalkugelvectors parallelen Axenquer- schnitts, der auch den Grundabstand des Endpunkts der Axe liefert, wonach beide Projectionen des be- treffenden Körpers leicht construirt werden können. Sind die genannten Körper nicht regel- mässig, beziehungsweise gerade, sondern unregelmässig oder schief, so tritt bei Pyramiden und Kegeln die nach I. A. anzugebende Spitze, bei Prismen und Cylindern eine nach I. B. festzu- legende Seitenlinie als Bestimmungsstück an Stelle der Länge der Axe.
Die Kugel ist bestimmt durch die Bestimmungspunkte ihres Mittelpunkts und ihren Radius. Ihre erste Projection ist ein um die erste Projection des Mittelpunkts mit ihrem Radius be- schriebener Kreis; ihre zweite Projection ist die Horizontalprojection des Stücks der Oberfläche der Bildkugel, welches von dem Tangentialkegel der Kugel im Raum abgeschnitten wird, dessen Spitze der Mittelpunkt der Bildkugel ist. Um diese zweite Projection zu erhalten, beschreiben wir um den sammt der projicirenden Ebene des zum Mittelpunkte gehörigen Kugelvectors in die Horizontal- ebene geklappten Mittelpunkt mit dem Kugelradius einen Kreis, welcher der umgeklappte Schnittkreis jener Ebene mit der Kugel ist; zwei vom Bildkugelmittelpunkt an ihn gezogene Tangenten sind die in die Horizontalebene geklappte oberste und unterste Seitenlinie des Tangentialkegels und die Sehne ihrer Berührungspunkte ist der Durchmesser seines Berührungskreises, dessen Projection auf den Grundvector des Mittelpunkts die kleine Axe qer Horizontalprojection des Berührungskreises dar- stellt; hiermit ist die erste Projection des Berührungskreises bestimmt. Zu seiner zweiten Pro- jection, die auch die zweite Projection der Kugel ist, führt folgende Bemerkung: Die Abstände der einzelnen Punkte des in die Horizontalebene geklappten Durchmessers des Berührungskreises von dem Grundvector des Kugelmittelpunkts sind die Grundabstände der zu diesen Punkten ge- hörigen der Horizontalebene parallelen Kreissehnen, also die Grundabstände je zweier Punkte des Berührungskreises; die zweite Projection des letzteren wird demnach durch wiederholte Lösung der Aufgabe gefunden, aus der ersten Projection eines Punktes und seinem Grundabstande seine zweite Projection zu construiren.