16

jectionen der regulären Polyeder construiren lassen, wenn eine ihrer Seitenflächen nach Massgabe von a) festgelegt ist. Wir wollen das hierbei zu beobachtende Verfahren für das Dodecaeder zeigen.

α⁴) Wie die erste Projection eines Dodecaeders gefunden wird, dessen eine Seitenfläche, die Grundfläche, in der Horizontalebene liegt, ist aus der Orthogonalprojection bekannt; wir führen das Wichtigste für diesen Fall an, da dasselbe bei der Erledigung des allgemeinen Falles ver- wendet wird. Die in der Horizontalebene gelegene und die ihr parallele Seitenfläche projiciren sich in ihrer ursprünglichen Gestalt und Grösse und ihre Projectionen liegen zu dem gemein- schaftlichen Mittelpunkte so, dass ihre Ecken die Endpunkte eines regulären Zehnecks von dem- selben Mittelpunkte sind. Die 10 Kanten, welche zwischen beiden Flächen eine geschlossene ge- brochene Linie bilden, stellen in ihrer Projection ebenfalls ein reguläres Zehneck dar, dessen Seiten denen des ersten, des inneren, parallel, dessen Ecken also mit den inneren concentrisch sind. Die Projectionen der 10 Kanten, von denen fünf von der unteren und fünf von der oberen Fläche ausgehen, sind die Strecken zwischen zwei concentrischen Eckpunkten des inneren und äusseren Zehnecks. Die beiden inneren Fünfecke der Projectionsfigur sind direct angebbar; ein Eckpunkt des äusseren Zehnecks und damit der gesammte übrige Theil der Projectionsfigur findet sich nach der Bemerkung, dass die Abstände eines Eckpunktes des inneren und eines Punktes des äusseren Zehnecks vom gemeinschaftlichen Mittelpunkte sich verhalten wie die Seite des Fünfecks zu der ihr parallelen Diagonale desselben.—

Die fünf Endpunkte der von den Ecken der Grundfläche ausgehenden Kanten haben den- selben Grundabstand, wie die sie verbindenden Fünfecksdiagonalen; derselbe ist also Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse der Abstand der Diagonale von der gegenüberliegen- den Fünfecksseite und dessen andere Kathete die erste Projection dieses Abstandes ist, welche in der Projectionsfigur angebbar ist. Der⸗Grundabstand der fünf Ecken, welche den fünf Grund- kanten gegenüberhegen, ist Kathete eines aus dem Abstand dieser Punkte von der gegenüber- liegenden Grundkante als Hypotenuse und der durch die Projectionsfigur gegebenen Projection desselben als Kathete construirten rechtwinkeligen Dreiecks. Die Summe beider Abstände ist der Grundabstand der fünf obersten Eckpunkte. Aus den ersten Projectionen und den Grundab- ständen der Ecken lassen sich ihre zweiten Projectionen und damit die zweite Projection des Dodecaeders angeben.

Liegt keine der Seitenflächen in der Horizontalebene, läuft aber eine ihr parallel, so ist das Verfahren dasselbe.

3) Läuft keine der Seitenflächen der Horizontalebene parallel, ist aber eine derselbe nach Massgabe von IV. 1) bestimmt, so geben wir nach IV. 1) die Projectionen dieser Seitenfläche an und transformiren dieselben nach III. in eine neue Bildebene, die durch einen der Spur der Seitenfläche parallelen Grundkreisdurchmesser ihr parallel gelegt ist. Nunmehr sind die Projec- tionen des Dodecaeders nach) in Bezug auf das neue System angebbar; auf das ursprüng- liche transformirt, liefern sie die verlangten Projectionen.

Einfacher in der Ausführung ist das folgende Transformationsverfahren: Mit der Lage der Seitenfläche ist auch diejenige der Projectionsfigur F des Dodecaeders in Bezug auf die Ebene dieser Seitenfläche und die Horizontalprojection E von F bekannt. Sei nun a einer der End- punkte, welche nicht in der Seitenfläche liegen, ar seine Projection in Bezug auf ihre Ebene, Am die Horizontalprojection von ar und a, diejenige von a, so enthält die Ebene, welche durch a