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beiden Projectionen der übrigen Eckpunkte gefunden. Die zweite Projection des Polygons würde sich bei vollständiger— zur Raumanschauung übrigens überflüssiger— Ausführung als eine von Ellipsenbogen begrenzte Figur darstellen, in welcher je ein Bogen die zweite Projection einer Seite sein würde.

Die zweite Projection ist also die Horizontalprojection des Kugelbildes des Polygons, d. h. des sphärischen Vielecks, nach welchem der pyramidale Raum, dessen Leitpolygon das gegebene und dessen Spitze der Kugelmittelpunkt ist, die Bildkugel schneidet.

Für Curven ist das Verfahren wesentlich dasselbe. Ihr Kugelbild ist die Curve, nach welchem die conische Fläche, deren Spitze der Kugelmittelpunkt und deren Leitcurve die gegebene ist, die Bildkugel schneidet.

Wie aus den Projectionen einer Figur diese selbst gefunden werden kann, ist schon früher erwähnt worden.

Die Lage des Punktes p, durch welchen die Hauptgerade geht, ist eine beliebige innerhalb der Ebene der Figur; wir wählen ihn daher in der Lage, in welcher er das Constructionsver- fahren möglichst vereinfacht, und zwar lassen wir ihn mit dem Fusspunkte des Normalvectors der Polygonebene zusammenfallen, weil alsdann der Grundvector der Ebene bereits die erste Pro- jection der Hauptgeraden ist. Wir wollen dieses Verfahren beispielsweise auf den Kreis anwen- den. also aus den Bestimmungspunkten der Ebene eines Kreises von gegebenem Halbmesser und seiner Lage zu der durch den Fusspunkt des Normalvectors gehenden Hauptgeraden seine Pro- jectionen construiren.

Seien Fig 8 e und ey die Bestimmungspunkte der Kreisebene, s ihre Spur, l der Fusspunkt ihres Grundvectors, ce der Normalvector in der Horizontalebene, so ist el(in der Figur des Raumes wegen von cl aus nach oben abgetragen) die in die Horizontalebene geklappte Haupt- gerade des Kreises, dessen Lage zu ihr durch die Abstände va, rb, rd, uf, ug.... seiner Punkte a, b, d. f, g... und die Entfernungen ev, er, eu.... der Lothfusspunkt von e gegeben ist. Die in den ersten Projectionen v, r,, u,.... auf dem Grundvector errichteten gleich den Abständen va, rb, rd, ufug... in dem entsprechenden Sinne abgetragenen Lothe geben in ihren Endpunkten al, b., di, fi, g... die ersten Projectionen der Punkte a, b, d, f, g... also durch eine Ellipse verbunden die erste Projection des Kreises. Die zweiten Projectionen fe, ge... dieser Punkte ergeben sich aus der Bemerkung, dass die Grundabstände uu.... auch diejenigen der zugehörigen Punkte f und g... sind. Die zweiten Projectionen durch eine stetige Curve verbunden geben die zweite Projection des Kreises, d. h. die Horizontalprojection seines Kugelbildes.

Das Verfahren zur Projection der Polygone oder irgend welcher Curven ist dasselbe.

Anstatt die ersten Projectionen einer genügenden Zahl von Punkten des Kreises zu con- struiren, können wir seine erste Projection auch einfach durch ihren Mittelpunkt und ihre beiden Axen angeben. Ihr Mittelpunkt m, ist die Horizontalprojection des Kreismittelpunktes, die grosse Axe ist dem Kreisdurchmesser gleich und steht auf der ersten Projection der Hauptge- raden senkrecht; die kleine Axe auin ist die Horizontalprojection des Kreisdurchmessers ai, welcher der Hauptgeraden parallel ist; die zweite Projection wird wie oben gefunden.

2. Die Körper.

Ein reguläres Polyeder ist nach Lage und Grösse bestimmt, wenn dies für eine seiner Seiten- flächen der Fall ist und seine Erstreckung zu derselben gegeben ist. Also müssen sich die Pro-