14

Diese Transformationen können nothwendig werden bei der praktischen Ausführung der unter e) angeführten Lösungen. Bei vielen derselben wurde die Angabe der Spuren der durch ihre Bestimmungsstücke gegebenen Geraden oder Ebenen gefordert. Diese Bestimmungsstücke können nun so gegeben sein, dass jene Spuren über die Zeichnungsebene hinausfallen. Eine Transformation der Bestimmungsstücke auf eine passend gewählte neue Bildebene bringt dann immer die betreffende Aufgabe nach unserer Methode zur Lösung. Die Lage der Drehungsaxe, die Grösse und der Sinn der Drehung der Bildebene richten sich natürlich nach dem durch jeden speciellen Fall gebotenen praktischen Gesichtspunkte. Fällt beispielsweise die Spur einer Geraden nicht in die Zeichnungsebene oder auch nur weiter als wünschenswerth von dem Grund- kreise weg, so wird man die Drehungsaxe senkrecht zur ersten Projection der Geraden wählen.

Zugleich sieht man, dass die unter e) gegebenen allgemeinen Lösungen bei allen Lagen der in Beziehung tretenden Gebilde, wenn nicht direct, so doch nach Vornahme einer Transfor- mation ihrer Bestimmungsstücke ihre Gültigkeit behalten.

IV.

Projectionen ebener und räumlicher Figuren.

1. Die ebenen Figuren.

Eine ebene Figur ist bestimmt durch ihre Ebene und ihre Lage zu einer in ihrer Ebene gelegenen Geraden. Diese Lage wird angegeben, falls die Figur eine eckige ist, durch die senk- rechten Abstände ihrer Eckpunkte von der Geraden und die Entfernungen der Fusspunkte der Abstandslothe von einem in der Geraden gegebenen Punkte; falls sie eine Curve ist durch die Abstände einer hinreichenden Zahl von Punkten der Curve, wobei jedoch in beiden Fällen das Gesetz, nach welchem die Figuren construirt sind, eine einfachere Bestimmungsweise erlauben kann. Die erwähnte Gerade, die Hauptgerade der Figur, kann in der Ebene die verschiedensten Lagen haben; wir wählen als die bequemste die, in welcher sie der Endschenkel des Neigungswinkels der Ebene zur Horizontalebene ist, indem dann die Lothe, welche die Punkte der Figur bestimmen, der Horizontalebene parallel sind. Aus den erwähnten Bestimmungsstücken lassen sich die Pro- jectionen ebener Figuren construiren. 1

Seien also(Fig. 7) ex und e, die Bestimmungspunkte der Ebene eines beliebigen Polygons, pi und pe diejenigen des Punktes p in derselben, a der Abstand eines Endpunkts a von der durch p gehenden Hauptgeraden, pim die Entfernung des Fusspunktes m des Lothes a von dem festen Punkte p. Das von pi auf die Spur s der Ebene des Polygons gefällte Loth pul ist die erste Projection der Hauptgeraden, die aus pil und p.p als Katheten construirte Hypotenuse sie selbst nach ihrer Umklappung in die Horizotalebene. Geben wir in der letzteren den Punkt m an, so haben wir in dem Fusspunkte m, des von ihm auf die erste Projection der Hauptgeraden ge- fällten Lothes die erste Projection des Punktes m und in dem Endpunkte a des von m, aus in dem einen oder anderen Sinne(je nach der Lage von a zur Hauptgeraden) auf das projicirende Loth abgetragenen Abstandes a die erste Projection des Endpunktes a; seine zweite ergibt sich aus seinem Grundvector caf und seinem Grundabstande= mma. In gleicher Weise werden die