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III.

Transformation der Projectionen.

Sind die Projectionen eines Punktes, die auf ein bestimmtes System bezogen sind, anzu- geben für ein anderes von derselben Bildebene, während der Mittelpunkt der Bildkugel innerhalb der Bildebene eine neue gegebene Lage hat, so erhalten wir den neuen Kreispunkt einfach aus dem unveränderten Grundabstand und der unveränderten ersten Projection des gegebenen Punktes.

Umständlicher ist die Transformation der Projectionen auf ein neues System, dessen Bild- kugel unverändert, dessen Bildebene aber die um einen gegebenen Winkel um eine durch den Kugelmittelpunkt gehende Axe gedrehte ursprüngliche ist. Weil dabei dieselbe Zeichnungsebene das eine Mal als ursprüngliche, das andere Mal als gedrehte Bildebene aufzufassen ist, so spielt auch ein und derselbe Kreis die doppelte Rolle des der ersten und des der zweiten Bildebene zu- gehörenden Grundkreises. Seien(Fig. 6) an und a die Bestimmungspunkte eines Punktes a, a die Drehungsaxe und der Drehungswinkel der Bildebene. Hierbei setzen wir«= 90 voraus; eine Drehung der Bildebene um einen stumpfen Winkel bewirkt nämlich dieselbe Lagenänderung wie die um seinen spitzen Nebenwinkel in dem entgegengesetzten Sinne; und Achnliches gilt für Drehungen um den Betrag eines ausserstumpfen oder ausserspitzen Winkels; für= 90 gilt dasselbe wie für«— 90.

Eine durch a senkrecht zur Drehungsaxe gelegte Ebene enthält sowohl den ursprünglichen Grundabstand aa, als auch den neuen a A und schneidet die ursprüngliche und neue Bildebene nach zwei Geraden, welche den Winkel α einschliessen. Der neue Grundabstand ist mithin Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks, dessen Hypotenuse der Abstand ab des Punktes von der Axe und dessen einer dem neuen Grundabstand gegenüberliegender spitzer Winkel entweder = aba+ a(respective wenn aba,+ α— 90, dessen Nebenwinkel) oder= aba,— a ist, je nachdem die Drehung von a weg oder nach a hin erfolgt; in der Figur ist der erste Fall gewählt. Der um ba, als Axe in die Horizontalebene geklappte Punkt a liefert mit b verbunden die ge- genannte Hypotenuse. Berücksichtigen wir nun noch, dass ba, in der Zeichnungsebene ebenso- wohl den der ersten, wie den der zweiten Bildebene zugehörenden Schenkel des Winkels dar- stellt, so haben wir für den neuen Grundabstand des Punktes a folgende Construction: Wir legen den Winkel« ab a im Punkte b an ba,, tragen auf seinen Endschenkel den gefundenen Abstand des Punktes a von der Drehungsaxe ab und projiciren seinen Endpunkt A durch AAu auf bau; A ist dann der um ba in die neue Bildebene geklappte Punkt a, A seine erste Projection in derselben; aus dem neuen Grundvector cA, und dem neuen Grundabstand AAu er- giebt sich nun ohne Weiteres der neue Kreispunkt An des bunktes a. Bei richtiger Construction müssen die um ihre Grundvectoren ca, und cAu in die bezüglichen Bildebenen geklappten Kugel- vectoren cA und ca einander gleich sein.

Da nach I. B. und C. die Bestimmungsstücke einer Geraden und einer Ebene beziehungs- weise 4(3) und zwei Punkte sind, so ist mit der vorstehenden Lösung zugleich auch die Lösung der Aufgabe gegeben, die Projectionen einer Geraden oder die Bestimmungsstücke einer Ebene auf ein neues System der angeführten Art zu transformiren.