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der beiden ersten Projectionen auch der gesuchte und die Ebene dadurch bestimmt, dass ihr Grundabstand derjenige der Geraden ist.

11) Gegeben die Bestimmungsstücke zweier sich kreuzenden Geraden, gesucht die Projectionen und die Länge ihres gemeinschaftlichen Lothes, d, h. ihrer kürzesten Entfernung.

Wir unterwerfen das gebräuchliche stereometrische Verfahren den Forderungen unserer Methode.

Die nach Massgabe von d) 3) pag. 7 durch ihre Projectionen gegebenen Geraden seien a und b; durch einen Punkt a der ersteren ziehen wir nach e 4) pag. 9 eine Parallele a' zu b und durch einen Punkt b der zweiten eine Parallele b' zu a; a'a und b'b bestimmen ein nach e 9) pag. 10 angebbares Paar von parallelen Ebenen, deren Abstand der gesuchte ist; dieser Abstand ist die Differenz ihrer zugehörigen Normalkugelvectoren.

Die Projectionen des gemeinschaftlichen Lothes lassen sich folgendermassen angeben; wir fällen nach e 7) pag. 10 von a ein Loth auf die Ebene b'b und geben die Bestimmungsstücke der durch es und a gehenden Ebene an; ebenso construiren wir die Bestimmungsstücke einer Ebene durch die Gerade b senkrecht zur Ebene a'a; die Schnittgerade der peiden letzterwähnten Ebenen ist bekanntlich das gesuchte Loth. Demnach haben wir schliesslich noch die Aufgabe zu lösen: aus den Bestimmungsstücken zweier sich schneidenden Ebenen diejenigen ihrer Schnittgeraden zu finden, bezüglich deren wir auf pag. 12, 15) verweisen.

s. Gerade und Ebene.

12) Aus den Bestimmungsstücken einer Geraden und einer Ebene diejenigen ihres Schnitt- punktes zu finden.

Erste Lösung. Wir construiren nach II. c) 2) pag. 7 die Bestimmungsstücke einer die Gerade enthaltenden beliebigen Ebene und suchen die Projectionen ihrer Schnittgeraden mit der gegebenen(pag. 12, 15). Die Bestimmungspunkte des Schnittpunktes dieser und der gegebenen Geraden sind die des gesuchten Schnittpunktes,

Zweite Lösung. Die angeführte Hülfsaufgabe führt zu unbequemen Constructionen; ein- facher ist folgende Lösung: Seien(Fig. 4) s die Spur, m und ma die Bestimmungspunkte eines Punktes in der Geraden g, e und es diejenigen der Ebene. Die projicirende Ebene der Geraden schneidet die gegebene Ebene nach einer Geraden a, deren Schnittpunkt mit der gegebenen Geraden der gesuchte Punkt ist. Klappen wir beide um die Spur der Hülfsebene, also um gl, in die Horizontalebene, so ist ihr umgeklappter Schnittpunkt gefunden. Dies ist für die gegebene Ge- rade ohne Weiteres möglich. Die Richtung der umgeklappten Hülfsgeraden a ergiebt sich aus Folgendem: Die Schnittgerade ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen eine Kathete das zwischen dem Fusspunkte m, irgend eines projicirenden Lothes mi, der Geraden und der Spur s der Ebene gelegene Stück maq der ersten Projection g, ist, während die zweite Kathete das zwischen der gegebenen Ebene und der Horizontalebene gelegene Stück von mm, ist. Dieses Stück aber ist angebbar als Kathete eines zweiten rechtwinkeligen Dreiecks, dessen andere Kathete das von m, auf s gefällte Loth mul und dessen ihr anliegender spitzer Winkel der Neigungs- winkel« der Ebene ist; also ist in dem aus mul und gezeichneten rechtwinkeligen Dreiecke mrol die Kathete muo jenes Stück; übertragen wir dasselbe auf mim und verbinden den über-

tragenen Endpunkt o mit q, so ist oq die um g in die Horizontalebene geklappte Schnittgerade 2*½