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vector, so ist nach obigem diese Projection der gesuchte zweite Bestimmungspunkt der fraglichen Ebene. Die zweite Lösung ist in der praktischen Ausführung die bequemere.

7) Die Projectionen und die Länge des von dem Punkte auf die Ebene gefällten Lothes.

Um zunächst seine Länge zu finden, construiren wir nach voriger Aufgabe den Normal- véctor einer zweiten Ebene, welche durch den Punkt geht und der ersten parallel ist. Die Differenz des gefundenen und des ursprünglichen Normalvectors ist der gesuchte Abstand. Zur Auffindung der Projectionen des Lothes suchen wir die Bestimmungspunkte seines Fusspunktes in der ge- gebenen Ebene. Seien zu dem Ende(die Figur ist, als durch den Text leicht verständlich, nicht gezeichnet) pi und pe die Bestimmungspunkte des gegebenen Punktes p, ez e,, ee E diejenigen der beiden Ebenen undel der Fusspunkt des Lothes in der ersten Ebene, dann ist wegen pl 44½ Ee das Viereck e Epl, also auch seine Projection e, E, pul, ein Parallelogramm; der vierte End- punkt eines aus e Ei, En p und dem eingeschlossenen Winkel er Enpi construirten Parallelogramms ist demnach die erste Projection l, des Lothfusspunktes. Seinen Grundabstand lul finden wir, indem wir aus lipi, pip und pl= e E,=— ppl= IIlp= R das Trapez pulpl construiren, worin Lul der gesuchte Grundabstand ist; mit ihm aber ist nach Früherem der Kreispunkt l? bekannt.

8) Die Bestimmungsstücke einer durch den Punkt senkrecht zur gegebenen gelegten Ebene.

Wir geben zunächst nach voriger Aufgabe die Projectionen eines durch den Punkt zur Ebene gefällten Lothes und dann nach II. c) 2) pag. 7 die Bestimmungsstücke einer dasselbe enthaltenden Ebene an.

t. Gerade und Gerade.

9) Gegeben die Projectionen zweier sich schneidenden Geraden, gesucht ihre Ebene und der eingeschlossene Winkel.

Die erste Aufgabe ist bereits als Hülfsaufgabe zu e 2) pag. S gelöst; die um die Spur ihrer Ebene in die Horizontalebene geklappten Geraden schliessen den gesuchten Winkel ein.

Ist die eine der beiden Geraden der Horizontalebene parallel, so ist die Spur der Ebene eine durch die Spur der zweiten Geraden zur ersten gezogene Parallele. Sind beide Geraden der Horizontalebene parallel, so schliessen ihre beiden ersten Projectionen den gesuchten Winkel ein; ihre Ebene geben wir dann durch sechs Bestimmungspunkte dreier Punkte an, von welchen etwa einer der Schnittpunkt und die beiden anderen je ein Punkt beider Geraden sind..

10) Gegeben die Bestimmungsstücke zweier parallelen Geraden, gesucht die Bestimmungs- stücke ihrer Ebene und ihr Abstand.

Die Spuren beider Geraden geben die Spur der Ebene an; ihre Bestimmungsstücke ergeben sich dann nach II. b) 3) pag. 6 oder II. c) 2) pag. 7; der Abstand der um die Spur ihrer Ebene in die Horizotalebene gelegten Geraden ist der gesuchte. Laufen beide Geraden der Horizontalebene parallel, so ist zu unterscheiden, ob ihr Grundabstand verschieden oder gleich; in beiden Fällen ist die gegebene Lösung unmõglich. Im ersten Falle lässt sie sich dann also geben: Der Ab- stand der beiden ersten Projectionen ist die erste Projection des Abstandes beider Geraden; klappen wir denselben um seine erste Projection in die Horizontalebene, so ist eine durch seine Spur zu den gegebenen ersten Projectionen der Geraden gezogene Parallele die Spur, und sein Neigungswinkel der Neigungswinkel der gesuchten Ebene. Im zweiten Falle ist der Abstand