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6. Punkt und Gerade.

3) Gegeben die Bestimmungsstücke einer Geraden und eines Punktes ausserhalb derselben, gesucht die durch sie festgelegte Ebene.

Eine durch die erste Projection des Punktes in der Horizontalebene gezogene, die erste Projection der Geraden schneidende Gerade, repräsentirt die erste Projection einer zweiten Ge- raden, welche den gegebenen Punkt enthält und die erste Gerade schneidet, wenn wir den ge- gebenen Kreispunkt als einen Kreispunkt der zweiten Geraden und den Schnittpunkt im Verein mit dem zugehörigen Kreispunkt der ersten Geraden als Bestimmungspunkte eines Punktes der zweiten Geraden wählen.(Vergl. II. a) pag. 5 und II. d) 2 pag. 7). Die Spuren beider Ge- raden bestimmen die Spur der gesuchten Ebene, deren sonstige Bestimmungsstücke nun nach. II. c) leicht angebbar sind.

Ist ausserdem noch der Abstand des Punktes von der Geraden anzugeben, so klappen wir beide um die Spur ihrer Ebene in die Horizontalebene und fällen dann von dem Punkte ein Loth auf die Gerade.

4) Um die Projectionen einer durch den Punkt zur Geraden gezogenen Parallelen anzu- geben, ziehen wir durch die erste Projection des Punktes eine Parallele zur ersten Projection der Geraden, klappen dann die Gerade um ihre Projection und den Punkt um die erwähnte Parallele als Axe in gleichem Sinne in die Horizontalebene und ziehen durch den umgeklappten Punkt eine Parallele zur umgeklappten Geraden. Die zweite und erste Parallele stellen bezich- ungsweise die gesuchte Parallele in die Grundebene geklappt und deren erste Projection dar, wonach ihre zweite ohne Weiteres angebbar ist.

6. Punkt und Ebene.

Gegeben die Bestimmungsstücke einer Ebene und eines Punktes, gesucht:

5) Die Projectionen einer durch den Punkt zur Ebene gezogenen Parallelen.

Wir geben nach II. c), 2) pag. 7 die Projectionen einer in der Ebene gelegenen Geraden und dann diejenigen einer zweiten Geraden an, welche durch den gegebenen Punkt geht und der ersten parallel ist(vorige Aufgabe).

6) Die Bestimmungsstücke einer durch den Punkt gehenden der ersten parallelen Ebene.

Erste Lösung: Wir construiren zunächst nach II. c) 2) die Projectionen zweier in der Ebene gelegenen und sich schneidenden Geraden, dann die Projectionen zweier durch den ge- gebenen Punkt gehenden ihnen parallelen Geraden(nach e) 4) und endlich nach dem unter e) 2) angegebenen Verfahren die Bestimmungsstücke der durch sie bestimmten Ebene.

Zweite Lösung: Nach d) 5) pag. 8 fallen die Kreisbestimmungspunkte der beiden Ebenen in dem gemeinsamen Grundvector zusammen; es ist also nur noch der andere Bestimmungspunkt der gesuchten Ebene anzugeben; dieser ist die Projection des Fusspunktes des zur zweiten Ebene gehörigen Normalvectors, also mit dem letzteren gefunden. Der letztere ist Kathete eines recht- winkeligen Dreiecks, dessen Hypotenuse der zu dem gegebenen Punkte gehörige Kugelvector ist. Der von beiden eingeschlossene spitze Winkel kann nach dem unter II. p) 2) pag. 5 angegebenen Verfahren construirt werden, womit der Normalvector der zweiten Ebene ebenfalls gefunden ist. Tragen wir denselben vom Kreismittelpunkte aus auf den in die Horizontalebene geklappten Normalvector der ersten Ebene ab und projiciren seinen Endpunkt auf den zugehörigen Grund-

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