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oder wenn ihre ersten Projectionen sich schneiden, dem Grundvector des Schnittpunktes aber zwei verschiedene Kugelvectoren zugehören.

4) Eine Gerade steht auf einer Ebene senkrecht, wenn sie den Normalkugelvector der Ebene parallel ist.(Siehe 1.)

5) Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre 4 Bestimmungspunkte auf demselben Grundvector liegen und die beiden Kreisbestimmungspunkte zusammenfallen.

e) Die bis jetzt erhaltenen Resultate gestatten die Lösung aller aus der Verbindung von Punkt, Gerade und Ebene entspringenden stereometrischen Aufgaben im Sinne unserer Projections- methode; wir lassen die wichtigsten derselben hier folgen.

a) Punkt und Punkt.

1) Gegeben 2 Punkte durch ihre 4 Bestimmungspunkte, gesucht die Projectionen der durch sie bestimmten Strecke, deren Grösse und ihr Neigungswinkel zur Horizontalebene.

Den beiden ersten Forderungen ist pereits pag. 3, unter 1) und 2) genügt; der Neigungs- winkel wird durch Umklappen der Geraden um ihre erste Projection in die Horizontalebene erhalten.

2) Gegeben die 6 Bestimmungspunkte dreier Punkte, gesucht die Bestimmungsstücke der durch sie bestimmten Ebene und das von ihnen gebildete Raumdreieck. Wir geben nach dem unter B, c, 2) pag. 3, Bemerkten die Spuren zweier Seiten jenes Dreiecks an, ihre Verbindungs- gerade ist die gesuchte Spur; nunmehr sind nur noch die Bestimmungsstücke einer Ebene anzu- geben, die bei gegebener Spur einen gegebenen Punkt, den Schnittpunkt der beiden Hülfsgeraden enthält(II. b) 3) pag. 6). Das Raumdreieck ergibt sich durch Umklappen seiner Ebene sammt seinen 3 Eckpunkten um die Spur in die Horizontalebene(siehe Schlussbemerkung zu II. b) pag. 6). Hiermit ist die unter C. a) pag. 4 zurückgestellte Bestimmungsart einer Ebene durch 3 Punkte nachgeholt; dieselbe bleibt von den dort angeführten 3 verschiedenen Methoden als einzige in unserem Systeme übrig, wenn die Spur der Ebene im Unendlichen liegt, sie also der Horizontalebene parallel ist. Eine Ebene liegt nämlich ausserhalb der Kugel, berührt sie oder schneidet sie, je nachdem beziehungweise dem absoluten Werthe nach

C—— d9 5 1(ce=ü cea)

ce,

Liegt aber ihre Spur im Unendlichen, so wird ce= o, cee= o daher unbestimmt;

2 d. h. der Punkt c repräsentirt die Bestimmungspunkte der sämmtlichen Ebenen, welche der

Horizontalebene parallel laufen. Soll sich daher eine bestimmte derselben in unserem Systeme kennzeichnen, so kann dics nur dadurch geschehen, dass die 6 Bestimmungspunkte dreier ihrer Punkte Raumpunkte von gleichen Grundabständen repräsentiren.

Ist cen= cex, so hat die Ebene ausser der Spur in der Bildebene noch eine solche in der Bildkugel, welche ihr Schnittkreis mit der letzteren ist. Die Projection dieser Spur ergibt sich leicht aus Folgendem: Seien Fig. 3 ex und en die Bestimmungspunkte einer solchen Ebene (Cen= ce-), S ihre Spur, 8 ihr Neigungswinkel, beide erhalten nach c) pag. 4; der um den Grundvector ci in die Bildebene geklappte Endschenkel des Neigungswinkels schneidet den Grundkreis in v und a, so dass ap, auf ci projicirt, die kleine Axe der Projection der Kugelspur liefert, während die grosse Axe= av ist.