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Ebene an, welche dann die Bestimmungspunkte einer solchen Geraden sind; oder wir bestimmen nur einen Ebenenpunkt und verbinden ihn mit irgend einem als Spur der Geraden aufzufassenden Spurenpunkte der Ebene.
Ad 2) Irgend ein in der Horizontalebene gewählter Punkt ist ein Spurenpunkt einer der unzähligen die Gerade enthaltenden Ebenen; mit diesem Punkte aber ist von den unzähligen Ebenen eine bestimmt. Um ihre Bestimmungsstücke zu erhalten, verbinden wir den beliebig ge- wählten Punkt l(Fig. 2) der Horizontalebene mit der Spur s der Geraden; sl ist dann die Spur der Ebene. Zur Construction ihres Neigungswinkels errichten wir in irgend einem Punkt l der Spur ein Loth auf dieselbe, welches die erste Projection der Geraden in p schneiden möge; der an pul gelegene spitze Winkel des aus pip und pul als Katheten construirten rechtwinkeligen Dreiecks ist der verlangte. Das rechtwinkelige Dreieck endlich, dessen Hypotenuse ein auf der Spur rechtwinkeliger Grundvector und dessen an dem Fusspunkt des letzteren gelegener spitzer Winkel der Neigungswinkel ist, liefert in dem Scheitelpunkt seines rechten Winkels den Normal- Fusspunkt e und damit e, und ez. In unserer Figur ist g die um ihre erste Projection in die Grundebene geklappte Gerade; wäre ihre Lage zur Spur s anzugeben, so würden wir den Punkt p der Geraden g anstatt um g als Drehaxe, um die Spur s mit dem Abstande lp als Radius in die Horizontalebene klappen und ihn dann mit s verbinden; wir würden dann in g“ die Lage der Geraden g zur Spur s erhalten.
Diese Aufgabe verwancdeelt sich in eine bestimmte, sobald die Ebene, ausser der ersten Be- dingung, die Gerade zu enthalten, noch einer zweiten, etwa der, einen bestimmten Winkel mit der Horizontalebene zu bilden, genügen soll. Wir hätten in diesem Fall nur aus irgend einem projicirenden Lothe pp, der Geraden als Kathete und dem gegebenen a, oder wenn derselbe — 90, seinem Nebenwinkel als dem gegenüberliegenden spitzen= die 2. Kathete zu construiren, mit ihr als Radius um p, als Mittelpunkt einen Kreis zu beschreiben und von der Spur s der Geraden eine Tangente an denselben zu ziehen, so würde die letztere die Spur der Ebene sein.
Läuft die Gerade der Horizontalebene parallel, liegt also ihre Spur im Unendlichen, so läuft ihr, wie auch ihrer ersten Projection, die Spur jeder sie enthaltenden Ebene parallel, also stellt dann eine durch einen beliebigen Punkt l der Grundebene zur ersten Projection der Ge-
raden gezogene Parallele die Spur einer sie enthaltenden Ebene dar; im übrigen ist das Ver-— fahren das obige.
d) Liegen die betrachteten Gebilde nicht in einander, so werden einige ihrer merkwürdigen 4 gegenseitigen Lagen durch die Lagen ihrer Bestimmungsstücke in einfacher Weise charakterisirt.
1) Zwei Geraden laufen parallel, wenn ihre ersten Projectionen entweder parallel sind oder zusammenfallen und gleichzeitig ihre nach pag. 3, 1) in demselben Sinne in die Horizontalebene geklappten Richtungen parallel sind.
2) Zwei Geraden schneiden sich, wenn ihre Projectionen entweder sich schneiden oder zu- sammenfallen und sie gleichzeitig einen gemeinschaftlichen Kugelvector haben. Gehört dabei im ersten Falle zu 2 verschiedenen aber auf demselben Grundvector gelegenen ersten Projections- punkten beider Geraden eine und dieselbe 2. Projection, so fallen die Kugelbilder, also auch die 2. Projectionen beider Geraden zusammen.
3) Zwei Geraden kreuzen einander, wenn entweder ihre ersten Projectionen parallel sind und gleichzeitig ihre in demselben Sinne in die Horizontalebene geklappten Richtungen sich schneiden,