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es würde also cp und hiermit auch, da durch pe der pz cpe bekannt ist, pp con- struirt werden können, wenn pce bekannt wäre. Um ihn zu erhalten, klappen wir das Trapez pa en ps eg(in unserer ebenen Fig. nicht sichtbar) um po e, in die Horizontal- ebene, wodurch wir die Strecke ez pz erhalten und construiren über ihr als Grundlinie mit dem Kugelradius als Schenkel das gleichschenkelige ⁴ es Cpz, dessen Scheitel- winkel der gesuchte Jecp ist, womit der obigen Bemerkung zufolge pi gefunden ist. Also kurz: Wir errichten in den Punkten e, und pa auf e p. Lothe= en ez und pepa, construiren über esp; als Basis und dem Kugelradius als Schenkel ein gleichschenkeliges ez Cpz, aus dessen Scheitelwinkel und dem Normalvector ce ein rechtwinkeliges Dreieck Cmo, in welchen der Normalkugelvector ce= Cm Kathete, der erwähnte Winkel an der Spitze des gleichschenkeligen Dreiecks anliegender ist, tragen die Hypotenuse Co desselben von c aus auf cpz oder seine Verlängerung und projiciren den Endpunkt p der abgetragenen Strecke auf cpy, der projicirte Endpunkt ist der Punkt p.

3) Die Lösung der unbestimmten Aufgabe, die Bestimmungsstücke einer Ebene anzugeben, die einen gegebenen Punkt enthält, sowie der bestimmten, diese Bestimmungsstücke so anzugeben, dass die Ebene gleichzeitig eine gegebene Spur hat, ist durch das eben Bemerkte unmittelbar gegeben.

Hiernach ist es leicht, durch Construction die Lage eines durch seine Bestimmungspunkte pi und pa gegebenen Punktes in Bezug auf eine gegebene Ebene zu entscheiden. Wir construiren nach dem Vorangegangenen puq, worin q seine obige Bedeutung hat; je nachdem dann

pi P S puq ist, liegt p ausserhalb der Ebene auf ihrer der Kugel abgewandten Seite, auf der Ebene oder ausser- halb der Ebene auf ihrer der Kugel zugewandten Seite.

Der, wie oben erwähnt wurde, noch zu betrachtende Ausnahmefall ist die senkreehte Lage der Ebene zur Horizontalebene. Die ersten Projectionen aller ihrer Punkte liegen dann in ihrer Spur und zwar gehören zu je einem Spurenpunkte alle Punkte des Durchmessers, nach welchem der zugehörige Grundvector den Grundkreis schneidet; alle diese Punkte sind die zweiten Pro- jectionen der Punkte des in jenem Spurenpunkte auf der Horizontalebene errichteten Lothes.

Sehr häufig, wie wir später sehen werden, ist es nothwendig, aus den Bestimmungsstücken einer Ebene und eines Punktes in derselben die Lage des Punktes zur Spur anzugeben. Das hierbei einzuschlagende Verfahren ist, nachdem die Spur der Ebene gegeben oder gefunden worden ist, genau das der gewöhnlichen(orthogonalen) Projectionsmethode, besteht also in der Umklappung der Ebene mit Hülfe der Ebene ihres Neigungswinkels um ihre Spur in die Hori- zontalebene und der Angabe des Abstandes des Punktes in der umgeklappten Ebene von ihrer Spur.

c) Eine Gerade liegt in einer Ebene, wenn die 4 Bestimmungspunkte zweier ihrer Punkte der unter b) angegebenen Bedingung genügen oder auch, wenn dies von einem ihrer Punkte gilt, während ihre Spur in der Ebene liegt.

Demgemäss lassen sich, 1) wenn die Bestimmungsstücke einer Ebene gegeben sind, diejenigen irgend einer in ihr gelegenen Geraden construiren, und umgekehrt können 2) die Bestimmungs- stücke einer Ebene angegeben werden, welche eine bestimmte Gerade enthält.

Ad. 1) Wir geben entweder nach b) die 4 Bestimmungspunkte irgend zweier Punkte der