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vector, die gesuchte Spur demnach das in r auf er errichtete Loth, und der zweite spitze Winkel ere der Neigungswinkel.

An die Festlegung der Grundgebilde mit Hülfe ihrer aus der vorliegenden Methode fliessen- den Bestimmungsstücke reiht sich die Frörterung der Beziehungen zwischen den letzteren bei den wichtigsten gegenseitigen Lagen der ersteren.

II.

Punkt, Gerade und Ebene in ihrer Verbindung.

a) Ein Punkt p, dessen Bestimmungspunkte p, und pe sind, liegt in einer gegebenen Ge- raden, wenn seine Projection p, in der ersten Projection der Geraden liegt und sein Kreispunkt pe der Bedingung genügt Cpi: cpe= l P⸗ pz worin l der Schnittpunkt des in pi auf der Horizontalebene errichteten Lothes mit der Geraden ist; denn nach Früherem ist auch

cpi: Cpe= prp: pe pz also pil= pi p.

Wie man zu der ersten Projection eines Punktes einer Geraden die zugehörige zweite be- stimmt, ist bereits pag. 3, 2) gezeigt worden.

b) Ein Punkt p liegt in einer Ebene, wenn seine Bestimmungspunkte pi und pe der Be-

dingung genügen Cpi: cpz= cq:(pz worin q der Schnittpunkt des in pi zur Horizontalebene errichteten Lothes mit der Ebene ist; dann ist nämlich auch Cpi: cpe cp: cpz

d. h. cq cp.

Es muss sich demnach 1) aus der 1. Projection p, eines Punktes seine zweite pe so angeben lassen, dass beide einen Punkt p einer durch ihre Bestimmungsstücke, etwa ihre Bestimmungspunkte gegebenen Ebene darstellen.

Ein zu diesem Zwecke von p, aus(Fig. 3) auf die Spur s der gegebenen Ebene gefälltes Loth pul schliesst mit dem von dem fraglichen Punkte p aus auf diese Spur gefällten Lothe den Neigungswinkel der Ebene ein; also ist der Grundabstand p p des Punktes p als Kathete des aus dem ersten Lothe pul als zweiter Kathete und dem Neigungswinkel als dem der zweiten anliegenden spitzen Winkel construirten recht- winkeligen Dreiecks bekannt; mit p p aber sind der in die Grundebene geklappte Kugelvector cp und die Punkte pz und pe ohne Weiteres gegeben.

Wie, von einem besonderen später zu besprechenden Falle abgesehen, zu jeder beliebigen ersten Projection eines Punktes eine ganz bestimmte zweite gehört, wenn beide einen Punkt einer Ebene angeben sollen, so

2) umgekehrt zu jeder zweiten eine erste. Sei also(Fig. 3) pe gegeben und pi so zu bestimmen, dass p in einer gegebenen Ebene liegt. Die Verbindungsstrecke pe des Punktes p mit dem Fusspunkt des N ormalkugelvectors ce schliesst mit dem letzteren ein rechtwinkeliges Dreieck ein, dessen Hypotenuse der Kugelvector cp des Punktes p;