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bedarf es wohl kaum noch der Bemerkung, dass nur die Hälfte der Ellipse als 2. Pro- jection aufzufassen ist, welche die Grundprojection des oberen Kugelbildes ist.

Um die Lage der Raumgeraden g zur Spur cs ihrer Centralebene zu erhalten, legen wir die letztere um cs in die Bildebene, indem wir auf den Anfangsschenkel cp, ihres Neigungs- winkels den Endschenkel cp desselben abtragen; die Verbindungsgerade g des abgetragenen End- punktes p mit der Spur s der Geraden ist die um es in die Bildebene gedrehte Gerade g.

Alle Geraden, deren Abstand vom Mittelpunkte der Bildkugel grösser als der Kugelradius ist, haben ausser ihrer Spur in der Bildebene keine zweite; diejenigen aber, deren Abstand gleich oder kleiner als der Kugelradius ist, haben beziehungsweise noch eine Spur oder zwei Spuren in der Bildkugel. Sie werden erhalten, indem wir(Fig. 2) die Gerade m um ihre erste Pro- jection mi in die Bildebene klappen und über dem vom Grundkreise auf m, abgeschnittenen Stück als Durchmesser einen Halbkreis construiren. Seine Schnittpunkte r und v mit m sind die in die Bildebene geklappten Kugelspuren, deren Projectionen nun nach dem Früheren leicht anzugeben sind. 3

C. Die Ebene.

a) Eine Ebene ist bestimmt durch die 6 Bestimmungspunkte dreier ihrer Punkte.

b) Eine Ebene ist ferner bestimmt durch eine Gerade in der Horizontalebene und einen Kreispunkt, welcher in einem zu dieser Geraden senkrechten Grundvector liegt; beide bestimmen nämlich eine Ebene, die jene Gerade zur Spur und den dem Kreispunkt entsprechenden Kugel- vector zur Normalen hat. 3

c) Eine Ebene ist endlich bestimmt durch 2 in demselben Grundvector gelegene Punkte, ez und el, Fig. 3, von denen mindestens einer(ez) ein Kreispunkt ist. Beide bestimmen nämlich einen Punkt e und dessen Kugelvector ce, also auch die durch e gehende Normalebene des- selben; wir nennen daher in Zukunft zwei solche Punkte die Bestimmungspunkte einer Ebene und zwar denjenigen, welcher der Kreispunkt des Normalfusspunktes ist, den Kreisbestimmungs- punkt, die Horizontalprojection dieses Fusspunktes den Grundbestimmungspunkt der Ebene.

Aus den angeführten Bestimmungsstücken müssen sich demnach construiren lassen: Im Falle a)(Horizontal)-Spur, Neigungswinkel und Bestimmungspunkte der Ebene. Im Palle b) Zweiter Bestimmungspunkt und Neigungswinkel. Im Falle c) Spur und Neigungswinkel.

Ad a) Die hier gegebene Bestimmungsart der Ebene ist in einem speciellen Falle die von den 3 angeführten in unserem Systeme allein mögliche; um diese Untersuchungen möglichst ver- einfachen zu können, verschieben wir sie, bis uns bequemere Mittel, als die, über welche wir jetzt noch verfügen, zu Gebote stehen.(Siehe II. e, 2) pag. 8.)

Ad b) Seis(Fig. 3) die gegebene Spur, e der gegebene 2. Bestimmungspunkt, also cey Ls. Wir verlängern ce, bis zu seinem Schnitte r mit s, construiren aus cr als Hypotenuse und dem Winkel rceg als anliegendem spitzen Winkel das rechtwinkelige Dreieck cer; dann ist nach bekannten stereometrischen Grundsätzen ce der in die Grundebene geklappte Normalvector der Ebene, mithin der Fusspunkt e des von e auf cr gefällten Lothes der zweite Bestimmungs- punkt und der Winkel cre der Neigungswinkel der Ebene.

Ad c) Wir construiren aus dem mit Hülfe von ce, leicht in die Grundebene zu klappenden Normalkugelvector ce als Kathete und seinem Neigungswinkel ecen als dem anliegenden spitzen Winkel ein rechtwinkeliges Dreieck; seine Hypotenuse er ist der bis zur Spur verlängerte Grund-