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als eine Gerade in der Horizontalebene(erste oder Grundprojection— unendliches Gebilde), als eine Ellipse(zweite Projection— endliches Gebilde).

Die zweite Projection reducirte sich auf eine Strecke, wenn die horizontal projicirende Ebene der Geraden durch den Kugelmittelpunkt geht; diese Strecke ist der im Grundkreise ge- legene Durchmesser des Kugelbildes der Geraden; steht dabei noch die Gerade auf der Horizontal- ebene senkrecht, so reducirt sich ausserdem die 1. Projection auf einen Punkt, nämlich die Grund- spur der Geraden; liegt die Gerade in der Horizontalebene, so ist sie selbst ihre erste, der

Grundkreis

ihre zweite Projection.

c) Nach dem in a) Bemerkten sind diese Projectionen, sowie der Gerade selbst aus den 4 Be- stimmungspunkten der Geraden angebbar; wir suchen demgemäss aus diesen 4 Bestimmungs- punkten? 1) die Gerade im Raum, 2) ihre beiden Projectionen.

)

Sind(Fig. 2) ana,, b bz die 4 Bestimmungspunkte, so construiren wir nach b) pag. 1 die beiden Raumpunkte a und b, durch welche die Gerade bestimmt ist. Um die Strecke ab durch eine Construction in der Horizontalebene zu erhalten, klappen wir ihre horizontal projicirende Ebene um ihre Horizontalspur, die Horizontalprojection au bi, nach bekannter Weise in die Horizontalebene und geben ab an. Der Schnitt- punkt der in die Grundebene geklappten Geraden mit ihrer 1. Projection ist ihre Grundspur.

Um die 2. Projection zu erhalten, könnten wir eine genügende Anzahl von Kreis- punkten der Geraden construiren und dieselben durch eine stetige Curve verbinden. Ein beliebiger in der 1. Projection angenommener Punkt p, nämlich ist die erste Projection eines Punktes p der Geraden; sein Kreispunkt pe würde sich ergeben als der auf cp, projicirte Kreisschnittpunkt der Hypotenuse eines durch cpy und pap als Katheten bestimmten recktwinkligen Dreiecks.(Vergl. pag. 1, Kreispunktsconstruction aus Projection und Grundabstand.) Indessen lassen sich auch leicht grosse und kleine Axe der 2. Projection construiren. Die grosse Axe ist der im Grundkreise gelegene Durchmesser des Kugelbildes, fällt also der Lage nach zusammen mit der Spur seiner Ebene, d. h. mit der durch c und die Grundspur der Geraden gezogenen Geraden. Die kleine Axe ist der eine Schenkel des im Puncte c construirten Neigungswinkels der Ebene des Kugelbildes zur Horizontalebene und somit Kathete des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse ein Durchmesser des Kugelbildes und dessen der obigen Kathete anliegender spitzer Winkel jener Neigungswinkel ist. Um den letzteren zu finden, errichten wir in c auf der grossen Axe ein Loth, welches anb in pi schneidet und construiren aus cp, und pip als Katheten ein rechtwinkliges Dreieck; der an cp gelegene spitze Winkel desselben ist der gesuchte. Fassen wir dies kurz zusammen, so haben wir für die kleine Axe der 2. Projection die einfache Construction: Wir bestimmen den Kreispunkt desjenigen Punktes der Geraden, dessen 1. Projection der Schnittpunkt des in c auf der grossen Axe errichteten Lothes mit der 1. Projection der Geraden ist; der Abstand cpe dieses Kreispunktes vom Kugelmittelpunkt ist nach Grösse und Lage die verlangte kleine Axe. Nach dem pag. 2 über die Wahl zwischen

den beiden einem Raumpunkte zugehörigen Kugelbildern getroffenen Uebereinkommen 1*