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Ob die Bestimmungspunkte a, und a, einen Punkt ausserhalb, auf oder innerhalb der Kugelfläche angeben, hängt von ihrer gegenseitigen Lage ab, so zwar, dass der erste, der zweite oder der dritte der genannten Fälle eintritt, je nachdem ca’ grösser, gleich oder kleiner als ca, ist; ein Blick auf obige Proportion machte dies klar. Fällt a in die Peripherie des Grundkreises, so ist a ein Punkt der in a senkrecht zur Horizontalebene gezogenen Kugeltangente; rückt ae in die Peripherie, so ist a ein Punkt der Horizontalebene, d. h. fällt mit al zusammen; rücken an und an nach c, so ist a irgend ein Punkt des in c zur Horizontalebene errichteten Lothes, daher so lange unbestimmt, als sein Grundabstand unbekannt ist.

Noch ist zu bemerken, dass nach dem Seitherigen a durch a? und aw insofern nicht ganz unzweideutig bestimmt ist, als dieser Punkt im Abstande da, sowohl oberhalb als unterhalb der Horizontalebene liegen kann. Diese Zweideutigkeit wird indessen vermieden, wenn wir überein- kommen, von den beiden Kugelbildern, welche zu jedem Raumpunkte gehören, nur das eine, wir wählen das obere, d. h. das oberhalb der Horizontalebene gelegene, beizubehalten— das untere ist an sich natürlich gleichberechtigt. Thun wir dies, so ist ohne Weiteres ersichtlich, dass der Punkt a oberhalb oder unterhalb der Horizontalebene liegt, je nachdem can und cax in dem gleichen oder im entgegengesetzten Sinne gemessen sind, oder was dasselbe ist, je nachdem der Quotient can: ca? positiv oder negativ ist.

Hiernach bestimmen z. B. in Fig. 1 die Punkte al und az einen oberen, ausserhalb, da- gegen bi u. ax einen unteren innerhalb der Kugel gelegenen Punkt, der beziehungsweise a od. b heisst.

Die Unterscheidung zwischen einem oberen und unteren Kugelbilde verliert natürlich für die Anschauung ihren Sinn, sobald die Bildebene nicht die Horizontalebene, sondern irgend eine andere Ebene des Raumes ist; denken wir uns in diesem Falle den Beschauer so gestellt, dass der in der Bildebene gelegene horizontale Kugeldurchmesser die Sehaxe des Beschauers für den unendlich fernen Punkt des Durchmessers ist, so lassen sich die Ausdrücke„oberer“ und „unterer“ Kugelpunkt ersetzen durch„rechter“ und„linker“ Kugelpunkt, je nachdem derselbe auf der für den Beschauer rechten oder linken Seite der Bildebene liegt. Wir bebalten in der Mehrzahl der Fälle als Bildebene die Horizontalebene bei, da ihre Bilder gewohnheitsmässig der Anschauung die geläufigsten sind.

B. Die Gerade.

a) Da eine Gerade durch 2 Punkte bestimmt ist, zu 2 Raumpunkten aber 4 Bestimmungs- punkte gehören, so geben 4 Punkte an und ax, b. und bz, von denen die mit gleichen Indices be- zeichneten Kreispunkte sind und die gleichnamigen auf demselben Grundvector liegen, eine ganz bestimmte Gerade an.

b) Ebenso ist eine Gerade bestimmt durch ihre Horizontal- oder Grundspur-und die Be-

stimmungspunkte eines ihrer Punkte.

Die sämmtlichen Kreispunkte der Punkte einer Geraden(Kreispunkte der Geraden) liegen auf einer Ellipse, welche die Horizontalprojection des durch die Gerade gehenden Kugelhaupt- schnittes ist; nennen wir diesen Kugelhauptschnitt das Kugelbild, jene Ellipse die 2. Projection der Geraden, ihre Horizontalprojection die erste, so stellen sich die Projectionen einer Geraden nach unserer Methode dar