I.

Festlegung des Punktes, der Geraden und der Ebene.

A. Der Punkt.

Wählen wir(Fig. 1) innerhalb des Hauptschnittes irgend einer Ebene, die wir die Bild- ebene nennen wollen, z. B. der Horizontalebene mit einer Kugel, der Bildkugel, einen beliebigen Punkt a, und einen anderen a, irgendwo auf dem durch den Mittelpunkt c des Schnittkreises gezogenen Kreisvector caa, errichten in ag ein Loth zur Horizontalebene, das die Kugel in az schneidet, so trifft der Kugelvector caz ein zweites in a, zur Horizontalebene errichtetes Loth in einem Punkte a; der Punkt a ist also unter Vornahme der angeführten Construction durch die beiden Punkte an und ax vollständig bestimmt; wir wollen den ersteren künftighin die erste Projection, den letzteren den Kreispunkt oder die zweite Projection, beide zusammen die Bestimmungspunkte und den Punkt as das Kugelbild des Punktes a nennen. Der erwähnte Hauptschnitt der Horizontalebene, allgemeiner der Bildebene, möge Grundkreis der Bildkugel, ca der Kugelvector und seine Projection ca, der Grundvector des Punktes a heissen.

Hiermit ist zugleich die Lösung der beiden Aufgaben gegeben, welche die Basis aller künftigen Lösungen bilden: a) Gegeben ein Punkt im Raume, gesucht seine Bestimmungspunkte und b) Gegeben die Bestimmungspunkte eines Raumpunktes, gesucht der zugehörige Punkt. Ad a) Wir ziehen den Kugelvector ca, so sind die Projectionen des Kugelpunktes az, nämlich a? und des Punktes a, nämlich a die gesuchten Bestimmungspunkte; die Lösung zu b) ist bereits gegeben. Um den Abstand des Punktes a von der Horizontalebene, den wir in Zukunft den Grundabstand des Punktes a nennen wollen, durch eine Construction in der Horizontalebene an- geben zu können, klappen wir die projicirende Ebene des Vectors ca um ihre Horizontalspur(den Grundvector) can in die Horizontalebene. Hierbei fällt der Hauptkugelschnitt dieser Ebene mit dem Grundkreis, folglich az ae mit einem auf can in ax in der Horizontalebene errichteten Lothe zusammen, so dass sich der Grundabstand aa durch eine Construction in der Horizontalebene nach der Proportion bestimmt: caæ: ca= aa az: au a.

Um ebenso durch eine Construction in der Horizontalebene aus dem Grundabstand aha und der Projection an eines Punktes seinen Kreispunkt a, zu finden, genügt es zu bemerken, dass das aus dem Grundvector caf und dem Grundabstand aßa als Katheten construirte rechtwinklige Dreieck das in die Horizontalebene geklappte Raumdreieck acan, der Schnittpunkt az seiner Hypotenuse mit dem Grundkreise also der umgeklappte Kugelpunkt az, seine Projection a, auf ca demnach der verlangte Kreispunkt ist.