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können ebenfalls in derſelben Weiſe gefunden werden. In Fig. 26 iſt folgende Aufgabe ausgeführt: Ein gerader Kreiskegel, deſſen Grundfläche in der H.E. liegt, wird von einer Ebene, die ſchief zur H.E. und ſenkrecht zur V. E. iſt, geſchnitten Es ſollen die Projektionen und die wahre Geſtalt der Durchſchnittsfigur ſowie das Netz des Kegels mit der Durchſchnittslinie konſtruiert werden.— Die V.b. der Durch⸗ ſchnittslinie iſt eine auf der vertikalen Spur der ſchneidenden Ebene liegende Strecke. Um die H. P. derſelben zu erhalten, teile man die Grundfläche in zwölf gleiche Teile und ziehe durch die Teilpunkte zwölf Seitenlinien des Kegels. Die Schnittpunkte der V. b. dieſer Seitenlinien mit E“ ſind Punkte der V. P. der Schnittfigur. Aus denſelben kann man daher leicht die H. P. dieſer Punkte erhalten. Nur bei den durch die Punkte 4 und 10 gehenden Seitenlinien ergeben ſich keine ſolchen Punkte, da die H. P. derſelben ſenkrecht zur Achſe ſind. Um dieſe zu erhalten, legt man durch die Schnittpunkte der von 4 und 10 ausgehenden Seitenlinien mit der ſchneidenden Ebene einen Kreis parallel zur Grundfläche. Dieſer projiciert ſich in der V.E. als eine Gerade, die parallel zur Achſe iſt, und die H. P. desſelben iſt ein mit der Grundfläche konzentriſcher Kreis. Die Schnittpunkte desſelben mit den durch 4 und 10 gehenden Seitenlinien ſind Punkte der H. P. der Durchſchnittslinie. Auf dieſelbe Weiſe laſſen ſich noch mehr Punkte konſtruieren. Die H. P. der Durchſchnittslinie iſt eine Ellipſe. Die wahre Geſtalt derſelben kann dadurch erhalten werden, daß man dieſelbe in die V. E. herabſchlägt. Die Ausführung geſchieht wie bei der Aufgabe über das fünfſeitige Prisma.— Das Netz des Kegelmantels iſt ein Kreisſektor, deſſen Radius gleich einer Seitenlinie des Kegels und deſſen Bogen gleich dem Umfang der Grundfläche iſt. Man zieht in dieſem Sektor die zwölf Seitenlinien und trage darauf von der Spitze aus die zugehörigen Abſchnitte der Seitenlinien, die durch die ſchneidende Ebene entſtehen, ab. Dieſe werden aus der V. P. entnommen. Verbindet man die erhaltenen Punkte durch eine Kurve mit einander, ſo ſtellt dieſe die abgewickelte Durchſchnittslinie dar.

Was die Kurven von doppelter Krümmung betrifft, ſo empfiehlt es ſich noch, die Projektionen der gemeinen Schraubenlinie zu zeichnen. Dieſelbe bildet die Grundlage für die Konſtruktion von Schrauben mit flachen und ſcharfen Gewinden.

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Schlußwort.

Wie aus vorſtehenden Ausführungen hervorgeht, ſind verhältnismäßig nur wenige Funda⸗ mentalaufgaben notwendig, um die in den Abſchnitten VIII und IX behandelten Aufgaben über die Körper und ihre ebenen Schnitte und Netze zu löſen. Eine Reihe von weiteren Aufgaben über die Ebene, z. B. die Beſtimmung des Neigungswinkels einer Geraden gegen eine Ebene, die Konſtruktion des Neigungswinkels zweier ſich ſchneidenden Ebenen, die Konſtruktion von Abſtänden im Raume u. a. ſind in den vorſtehenden Betrachtungen nicht berückſichtigt worden. Ebenſo iſt auf die Unterſuchung einzelner Fälle, wie ſie bei allen Arten von Aufgaben eintreten können und die unter Umſtänden noch weitere Hilfskonſtruktionen nötig machen, verzichtet worden. Wollte man in dieſer Beziehung ein⸗ gehender verfahren, ſo würde man mit Rückſicht auf die dem Gegenſtande Käbehitäſ Zeit von den Unterſuchungen über die Projektionen der Flächen und der Körper, ſowie über deren ebene Schnitte und Netze abſehen müſſen. Der Unterzeichnete iſt der Meinung, daß gerade die letzteren Aufgaben dem Schüler mehr Intereſſe darbieten als Aufgaben der vorbezeichneten Art. Soll der Unterricht in der darſtellenden Geometrie für alle Schüler von Erfolg begleitet ſein, ſo iſt es vor allem not⸗ wendig, daß die Grundbegriffe klar erfaßt werden. Iſt mit der Stereometrie noch nicht begonnen worden, ſo ſind die nötigen Vorkenntniſſe daraus erſt in anſchaulicher Weiſe zu lehren, wie es in Abſchnitt I gezeigt worden iſt. Sämtliche Erklärungen und Aufgaben müſſen durchweg durch die Anſchauung erläutert werden; wenn es an den nötigen Modellen fehlt, ſo genügen auch iedn Hilfs⸗ mittel, und wenn ſie auch von primitiver Art ſind. Iſt einmal die Löſung einer Aufgabe auf dieſe