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die Projektionen der Durchſchnittsfigur und ihre wahre Geſtalt zu konſtruieren.(Fig. 25.) 1

Man lege eine Grundkante des Prismas, DE, parallel zur Achſe; die H. P. der Grundfläche iſt kongruent der Grundfläche. Die V. P. der unteren Grundfläche iſt eine Gerade in der Achſe, die der oberen Grundfläche iſt eine zu dieſer parallele Gerade. Die V. P. der Seitenflächen ſind Rechtecke, deren Höhen gleich einer Seitenkante ſind. Die H. P. der Durchſchnittsfigur iſt gleich der Grundfläche, die V. B. derſelben iſt eine Strecke, die ſchief zur Achſe iſt. Die Spur E“ der ſchneidenden Ebene iſt ſenkrecht zur Achſe, die Spur E“ bildet mit derſelben einen ſpitzen Winkel, und auf derſelben liegt die V. P. der Durchſchnittsfigur. Die gegebene Ebene ſchneidet die Seiten⸗ kanten in ſolchen Punkten, deren Abſtände von der V. E. ſo groß ſind wie die Abſtände der H. P. dieſer Punkte, reſp. der Ecken der Grundfläche, von der Achſe. Würde man alſo in den Schnittpunkten der V. P. der Durchſchnittsfigur mit den V. P. der Seitenkanten Senkrechte zu der V. E. in den Raum hinein errichten und dieſelben ſo groß wie die zugehörigen Abſtände der H. P. von der Achſe machen, ſo würden die Endpunkte derſelben die Ecken der Durchſchnittsfigur bilden. Dieſe erwähnten Senkrechten zieht man beim Zeichnen in der V.E., und zwar ſenkrecht zu E“; dadurch wird die Durchſchnittsfigur in die V. E. herabgeſchlagen und demnach ihre wahre Geſtalt ermittelt. Dieſelbe läßt ſich auch in der Weiſe beſtimmen, daß man die Durchſchnittsfigur durch Drehung um E in die H. E. herabſchlägt.*) Mit dieſer Aufgabe läßt ſich auch noch die Löſung folgender Aufgabe verbinden: Es ſoll das Netz des Körpers mit der Durchſchnittsfigur konſtruiert werden.(Fig. 25.)

Man trage die fünf Grundkanten auf einer geraden Linie, am einfachſten auf der Achſe⸗ neben einander ab, ziehe Senkrechte zu dieſen in den Endpunkten gleich den Seitenkanten und verbinde die Endpunkte dieſer mit einander. Nun trägt man noch an je eine Grundkante des Mantels die beiden Grundflächen, ſo iſt das Netz des Prismas konſtruiert. Trägt man die Abſtände der V. P. der Ecken der Durchſchnittsfigur von der Achſe auf den Seitenkanten des Netzes von den Grundkanten aus auf,(was dadurch geſchieht, daß man durch die V. P. der betreffenden Punkte Parallelen zur Achſe bis zu den zugehörigen Seitenkanten zieht,) und verbindet die Endpunkte mit einander, ſo bilden dieſe Verbindungslinien die abgewickelte Durchſchnittsfigur.— Man kann das Netz des Mantels des Prismas auch auf folgende Weiſe erhalten. Man dreht die Seitenflächen desſelben um ihre Grund⸗ kanten, bis ſie in die H. E. fallen. Dann erhält man fünf Rechtecke, die den Mantel des Prismas bilden, es fehlt alſo nur die obere Grundfläche. Trägt man auf den Seitenkanten dieſes Netzes die Abſtände der V.P. der Ecken der Durchſchnittsfigur auf und verbindet die Endpunkte mit einander, ſo erhält man die Seiten der Durchſchnittsfigur.

Nach denmn beſchriebenen Verfahren kann man die Projektionen und die wahre Geſtalt einer ebenen Durchſchnittsfigur eines ebenflächigen Körpers ſowie das Netz mit der Durchſchnittsfigur konſtruieren. Wenn der Körper eine Pyramide iſt und wenn die Lage derſelben ſo iſt, daß keine Seitenkante parallel zur V. E. iſt, ſo muß die wahre Länge einer ſolchen, um das Netz zu erhalten, erſt beſonders ermittelt werden. Am einfachſten geſchieht dies durch Anwendung des pythagoreiſchen Lehrſatzes. Die ebenen Durchſchnittsfiguren von krummflächigen Körpern, ſowie die Netze der⸗ ſelben mit der Durchſchnittsfigur laſſen ſich auf ganz ähnliche Weiſe wie bei den ebenflächigen Körpern ermitteln. Wenn z. B. ein gerader Kreiscylinder oon einer Ebene geſchnitten wird, die nicht parallel zur Grundfläche iſt, ſo kann man dasſelbe Verfahren anwenden, wie es oben für das Prisma beſchrieben worden iſt. Man ziehe zu dieſem Zwecke eine Anzahl Seitenlinien, etwa zwölf, wodurch man 12 Punkte der Durchſchnittslinie erhält. Dieſe iſt eine Ellipſe, deren große Achſe gleich der V. P. derſelben und deren kleine Achſe gleich dem Durchmeſſer der Grundfläche iſt. Um das Netz zu zeichnen, wickele man den Umfang der Grundfläche auf einer Geraden ab, errichte auf dieſer Lote und mache dieſelben gleich den Seitenlinien des Cylinders.— Die Projektionen der Kegel⸗ ſchnitte, ihre wahre Geſtalt und das Netz des Kegels mit der Durchſchnittsfigur

*) Dazu iſt das in VI. gezeigte Verfahren anzuwenden.