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punkte die Seitenlinien und beſtimme die Projektionen der Teilpunkte und der Seitenlinien. Die Projektionen eines geraden Kreiskegels können auf dieſelbe Weiſe gefunden werden.

Was die Projektionen der regelmäßigen Polyeder betrifft, ſo ſind diejenigen des Tetraeders, Hexaeders und Oktaeders leicht zu zeichnen. Das Tetraeder ſtelle man mit einer Fläche in die H. E., dann iſt für die V. P. die Höhe des Körpers nach dem pythagoreiſchen Lehr⸗ ſatz zu ermitteln. Für den Würfel iſt diejenige Lage bemerkenswert, bei der die Diagonale auf der H. E. ſenkrecht ſteht. Dann iſt nämlich der Umriß der H.P. ein regelmäßiges Sechseck, und ſechs Kanten bilden die Radien des Umkreiſes desſelben. Die Projektionen eines Oktaeders ſind verſchieden; es kann eine Seitenfläche in der H. E. liegen und zwar ſo, daß eine Grundkante parallel oder nicht parallel zur Achſe iſt. Oder es kann die Diagonale ſenkrecht zur H. E. ſtehen. Schwieriger ſind die Projektionen des Dodekaeders und Jkoſaeders darzuſtellen..

Die im Vorſtehenden erläuterte Methode der Konſtruktion der Projektionen eines Körpers beruht darauf, daß von derjenigen Lage des Körpers zu den Projektionsebenen ausgegangen wird, wobei die Projektionen ohne weiteres angegeben werden können, und daß durch geeignete Drehungen der Körper in die verlangte Lage gebracht wird. Es ſoll nun noch an einem Beiſpiel gezeigt werden, wie die Projektionen eines Körpers gefunden werden können, ohne daß derſelbe erſt durch Drehungen in die betreffende Lage gebracht worden iſt. Die Aufgabe iſt ſo geſtellt:.

vei Die Projektionen eines rechtwinkligen Parallelepipedons zu kon⸗ ſtruieren, wenn gegeben ſind: 1) Die wahre Geſtalt ſeiner Grundfläche (Ay'(B)(C)(D); 2) die horizontale Spur E' ſeiner Grundfläche; 3) der Neigungs⸗ winkel derſelben gegen die. E., 4; 4) die Seitenkante= h. Außerdem iſt beſtimmt, daß die Ecke A in der H. E. liegen ſoll.(Fig. 24.)

Auflöſung. Die Projektionen der Grundfläche werden nach dem in VII. angegebenen Verfahren gefunden. Dabei kann man ſich auch vorſtellen, daß die Grundfläche des Parallelepipedons urſprünglich in der H. E. gelegen war und daß dasſelbe durch Drehung um die Spur E' als Achſe in ſeine gegebene Lage gebracht worden iſt; dabei iſt der Drehungswinkel= a. Eine Seitenkante bildet mit der H. E. einen Winkel 6, der gleich dem Komplementwinkel von à2 iſt, da die Seitenkanten auf der Grund⸗ fläche ſenkrecht ſtehen. Die H. P. einer Seitenkante iſt daher die Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks A”(E)E“, das durch die Hypotenuſe(A)(E)= h und den anliegenden ſpitzen Winkel beſtimmt iſt. Die Projektion der Seitenkante(A)(E) iſt daher= A'E’ und muß außerdem ſenkrecht zur Drehungs⸗ achſe E’' ſein. Da die drei anderen Seitenkanten der Kante(A)(E) parallel und gleich ſind, ſo ſind auch die H. P. derſelben parallel und gleich A-E“. Dadurch kann man auch die H. P. der oberen Grundfläche erhalten. Aus dem rechtwinkligen Dreieck A/E’(E) ergibt ſich auch die Kathete(E)E-, die gleich dem Abſtande des Punktes E von der H. B. iſt. Folglich iſt der Abſtand der V. P., E“, von der Achſe E"X= E(E). Verbindet man A“ mit E“, ſo erhält man auch die V. P. A“E“ der Seiten⸗ kante AE. Die V. P. der anderen Seitenkanten ſind parallel und gleich A“E“, können alſo leicht ge⸗ funden werden. Wenn man durch F“, G“, H“ die Senkrechten zu der Achſe zieht, ſo müſſen dieſe durch die bereits gefundenen Punkte F“, G“, H“ gehen. Dadurch hat man auch eine Kontrolle über die Genauigkeit der ausgeführten Zeichnung.

Nach dieſer Methode kann man die Projektionen eines Prismas, Cylinders, und, mit dabei nötigen Modifikationen, diejenigen einer Pyramide und eines Kegels beſtimmen.

IX.

Wenn ein ebenflächiger Körper von einer Ebene geſchnitten wird, ſo entſteht eine ebene Durchſchnittsflgur, deren Geſtalt von dem Körper ſelbſt und der Lage der ſchneidenden Ebene ab⸗ hängig iſt. Wie man die Projektionen der Durchſchnittsfigur und die wahre Geſtalt derſelben beſtimmen kann, ſoll an folgender Aufgabe gezeigt werden: Ein gerades regel⸗ mäßiges fünfſeitiges Prisma, deſſen Grundfläche in der H.E. liegt, wird von einer Ebene, die ſchief zur H.E. und ſenkrecht zur V.E. iſt, geſchnitten. Es ſind