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Punkt kommt dann die am Anfang dieſes Abſchnittes erwähnte Aufgabe zur Anwendung. Beide Projektionen des Kreiſes ſind Ellipſen. Als beſonderer Fall des letzteren iſt noch der zu erwähnen, wo der Kreis ſchief zu beiden Projektionsebenen und parallel zur Achſe iſt.

VIII.

Um die Projektionen eines ebenflächigen Körpers zu erhalten, projiciert man die Flächen, von denen derſelbe begrenzt iſt, auf die Projekrionsebenen. Um die Anſchauung und den überblick zu erleichtern, empfiehlt es ſich, nur die dem Beſchauer zugekehrten Kanten auszuziehen, die nicht ſicht⸗ baren oder verdeckten Kanten dagegen ſtark zu punktieren. Wie nun die Projektionen eines ebenflächigen Körpers in verſchiedenen Lagen zu den Projektionsebenen gezeichnet werden können, will ich an einem quadratiſchen Parallelepipedon zeigen. Ich gehe dabei aus von derjenigen Lage dieſes Körpers, bei der die Projektionen ohne weiteres angegeben werden können. 1) Die Grundfläche EFGI liegt in der H. E., die Seitenflächen ABFE und DCGH ſind parallel zur V. E. Dann iſt die H. P. ein Quadrat, das der Grundfläche kongruent iſt, und die V. b. iſt ein Rechteck, das einer Seiten⸗ fläche kongruent iſt. Die H. P. der oberen Grundfläche ABCD fällt mit der H. P. der unteren Grund⸗ fläche zuſammen. Die vier Seitenflächen projicieren ſich als gerade Linien, die gleich einer Grund⸗ kante find, da ſie auf der H. E. ſenkrecht ſtehen; die vier Seitenkanten projicieren ſich als Punkte, und die Grundkanten projicieren ſich in ihrer wahren Länge. Die V. P. der unteren Grundfläche iſt eine Strecke gleich der Grundkante und fällt in die Achſe, die V. P. der oberen Grundfläche hat dieſelbe Länge und iſt parallel mit dieſer. Die zwei Seitenflächen, die parallel zur V. E. ſind, projicieren ſich in ihrer wahren Größe, die zwei Seitenflächen, die ſenkrecht zur V.. ſind, projicieren ſich als Gerade, die ſenkrecht zur Achſe find, gleich einer Seitenkante. Von den oberen und unteren Grund⸗ kanten projicieren fich diejenigen, die parallel zur V. E. ſind, in ihrer wahren Länge, und die, die ſenkrecht zur V.E. ſind, als Punkte. Alle vier Seitenkanten projicieren ſich in ihrer wahren Länge, die Projektionen von je zweien fallen zuſammen.(Fig. 23).— Nun bringt man den Körper in folgende Lage. 2) Man dreht denſelben um eine Seitenkante, z. B. A, ſo, daß die Seitenflächen ABFE und DCGl, die vorher parallel mit der V. E. waren, einen Winkel mit der V. E. bilden. Die Grundfläche EFGII bleibt in der H. E. liegen, und die Seitenkanten bleiben ſenkrecht zur H. P. Dann bleibt die H.P. des Prismas an ſich unverändert; nur die Lage derſelben zu der Achſe hat ſich geändert; die H. P. der Kante EF bildet mit der Achſe einen Winkel, der gleich dem Neigungs⸗ winkel der Seitenfläche ABFE mit der V. R. iſt. Die V. P. des Prismas iſt jetzt eine andere, indem die Grundkanten ſich jetzt anders projicieren; es entſtehen nämlich folgende Projektionen der unteren Grundkanten: E“F“, FE”G“, G“H“, H“E“. Ebenſo iſt es mit den oberen Grundkanten. Die Projektionen der vier Seitenkanten ſind jetzt vier Strecken, die gleich der wahren Länge derſelben ſind. Die verdeckte Seitenkante E“A“ iſt zu punktieren. Die Grundflächen projicieren ſich als gerade Linien; die Seitenflächen als Rechtecke. Damit nun die Zeichnungen für die 1. und 2. Lage des Parallelepipedons nicht in einander fallen, verſchiebe man erſt dasſelbe nach rechts und nehme dann die oben angegebene Drehung vor. Ebenſo verfahre man bei den folgenden Lagen, die man dem Körper gibt.— Die 3. Lage des Parallelepipedons geht aus der vorhergehenden folgendermaßen hervor: Man dreht den Körper ſo, daß die Ecke F in der H. F. liegen bleibt, und daß die Grundfläche EEG ſchief zu der H. P. und ſenkrecht zu der V. E. iſt und mithin die Seitenkanten parallel zur V.E. ſind. Hierbei ſind keine von den Grundkanten ſelbſt parallel zur V. E. Die Grund⸗ flächen und die Seitenkanten haben alſo dieſelbe Lage zur V. E. wie in der zweiten Lage des Parallel⸗ epipedons, nur bildet die Grundfläche jetzt mit der H. E. einen Winkel g, und die Seitenkanten bilden mit der H. E. einen Winkel*, der das Komplement von 5 iſt. Die Grundflächen projicieren ſich daher in der V. E. als gerade Linien, und die V. P. der Grundkanten ſind dieſelben, wie in der 2. Lage, nur daß ſie mit der Achſe einen Winkel bilden, der gleich dem Neigungswinkel der Grundfläche zur HI. E., 6, iſt. Auch die Seitenkanten projicieren ſich nach wie vor in der V. P. in ihrer wahren Länge. Daher iſt die V. P. in dieſer 3. Lage gleich der V. P. in der 2. Lage, nur mit dem Unterſchiede, daß die Projektionen der Grundkanten mit der Achſe einen Winkel 5 bilden. Dieſe Projektion kann alſo