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Gegenſeiten iſt parallel, das andere ſenkrecht zur Achſe. Der entſprechende 3. Fall iſt der, wenn das Quadrat parallel zur H.. E., alſo ſenkrecht zur V. E. iſt, wobei AD und BC parallel zur V. E. ſind. 4. kann das Quadrat ſenkrecht zur H.E. und ſchief zur V. E. ſein, und zwar ſo, daß ein Paar Gegenſeiten, AD und BC, parallel und das andere Paar, AB und DC, ſenkrecht zur H. E. ſind. Dann muß außerdem noch die horizontale Spur der Ebene des Quadrats gegeben ſein. Dieſe iſt ſchief zur Achſe, und zwar iſt der Winkel, den E“ mit der Achſe bildet, der Neigungswinkel des Quadrats mit der V. E. Die Spur E“ iſt ſenkrecht zur Achſe. Die H. P. des Quadrates iſt eine Strecke auf E“, die gleich der Quadratſeite iſt, und zwar ſind A“ und B’ die Fußpunkte der von(A) und(B) auf E“’ gefällten Senkrechten und C“ und D' die Fuß⸗ punkte der von(C) und(D) auf E“ gefällten Senkrechten. Man ziehe nun von A,B“ und C,D' die Senkrechten zur Achſe bis in die V. E., ſo ſind die Abſtände der Projektionen B“ und C“ von der Achſe gleich den Strecken(B)B=(C)C“, und die Abſtände der Projektionen A“ und D“ von der Achſe gleich den Strecken(A)A“=(D)D“. Die V. P. des Quadrats iſt ein Rechteck, deſſen Seiten B“C“ und A“D“ parallel, und deſſen Seiten A“B“ und D“C“ ſenkrecht zur Achſe ſind. Letztere ſind der wahren Länge der Quadratſeite gleich. Analog iſt der 5. Fall, wenn das Quadrat ſenkrecht zur V.E. und ſchief zur H. E. liegt, und zwar ſo, daß ein Paar Gegenſeiten, AD und BC, parallel und das andere Paar, AB und CD, ſenkrecht zur V. E. iſt. Endlich kann das Quadrat 6.) ſchief zu beiden Projektionsebenen liegen, wobei außer dem Quadrat ſelbſt die horizontale Spur ſeiner Ebene und ſein Neigungswinkel zur H.E. gegeben ſind. Die Projek⸗ tionen des Quadrats werden dann in der gleichen Weiſe wie die eines ebenſo liegenden Dreiecks gefunden. Die Projektionen des Quadrats ſind dann ſchiefwinklige Parallelogramme. Als beſonderer 7. Fall ſei noch der erwähnt, wo das zu den Projektions⸗Ebenen ſchief ſtehende Quadrat ſo liegt, daß die horizontale Spur(und auch die vertikale Spur) parallel zur Achſe liegt. Das Quadrat ſelbſt iſt dann parallel zur Achſe. Dann iſt auch noch der Neigungswinkel desſelben zur H. E. gegeben, und die Konſtruktion der Projektionen wird wie vorher ausgeführt. Das Quadrat lege man dann ſo, daß zwei Gegenſeiten, AD und BC, parallel zur Achſe ſind.—

Die Ausführung der vorſtehenden Aufgaben iſt auch deshalb von praktiſchem Werte, weil ſie auf die Projektionen des Würfels vorbereitet. In derſelben Weiſe, wie bei der oben erwähnten Aufgabe, können die Projektionen eines Kreiſes gefunden werden. Der Kreis kann 1) ſenkrecht zu beiden Projektionsebenen ſein, 2) parallel zur V.E., 3) parallel zur H. E. Die Ausführung dieſer Fälle bietet gar keine Schwierigkeiten. 4) Der Kreis iſt ſchief zur V. E. und ſenkrecht zur H. E. Dann iſt die horizontale Spur desſelben, die ſchief zur Achſe iſt, gegeben. Man ziehe einen Durchmeſſer(A)(B) parallel zu E“ und fälle die Lote von den Endpunkten desſelben auf E“. Dann iſt die auf E’ zwiſchen den Fußpunkten dieſer Lote liegende Strecke A’B’ die H. P. des Kreiſes. Hierauf ermittle man die V. P. dieſes Durch⸗ meſſers, A“B“, die parallel zur Achſe iſt. Man ziehe nun einen Durchmeſſer(C)(D) ſenkrecht zu E“, deſſen H. P. ein Punkt, C“, reſp. D' iſt. Die V. P. dieſes Durchmeſſers, C“D“, iſt eine Strecke, die ſenkrecht zur Achſe und gleich dem Durchmeſſer des Kreiſes iſt. Um noch mehr Punkte der V. b. des Kreiſes zu erhalten, teile man die Kreisperipherie von den Punkten(A),(B),(C),(D) in zwölf gleiche Teile und beſtimme die Projektionen der noch übrigen acht Punkte. Die V. P. der zwölf Punkte werden durch eine ſtetige Kurve verbunden, und es ergibt ſich, daß die V. P. des Kreiſes eine Ellipſe iſt, deren große Achſe C“D“ ſenkrecht zur Projektionsachſe und gleich dem Durchmeſſer des Kreiſes iſt, während die kleine Achſe A“B“ parallel zur Projektionsachſe iſt*). Die analoge Aufgabe iſt die, wobei der Kreis 5) ſenkrecht zur V.E. und ſchief zur H. E. ſteht. Der allgemeinere Fall, wo der Kreis 6) ſchief zur H. E. und zur V. E. ſteht, wird ſo gelöſt, wie der entſprechende Fall bei dem Quadrat. Man teile dann die Kreisperipherie in eine Anzahl gleicher Teile ein, etwa in zwölf, und beſtimme die Projektionen dieſer zwölf Punkte. Für jeden einzelnen

*) Es iſt dabei wünſchenswert, daß die Schüler aus dem geometriſchen Zeichenunterrichte in der 2. Klaſſe mit den Haupteigenſchaften der Ellipſe und ihrer Konſtruktion bekannt ſind...