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von der Winkelhalbierenden. A G gleich diesem Abstand, ergibt eine Parabel; A G kleiner als dieser Abstand, ergibt eine Hyperbel.—

Man kann auch durch Rechnung zu den angegebenen Sätzen gelangen. Die Kurven- gleichungen beziehen sich auf das in die Figuren eingezeichnete Koordinatensystem. Die Koordinaten von B heissen p und r, von C p und— r, A hat die Koordinaten m und o,

der veränderliche Punkt G xi, xitg 2 F ebenfalls veränderlich xe,— Xxe tg 5 Die Gleichung

der nach Fig. 16 möglichen Kurven lautet:

I.(r— mrtg 24(m p— pꝛ) y²+† im prtg 2.— mr.) X=.

Entwicklung dieser Gleichung.

Man stelle die Gleichungen der Geraden B G, CF, FG auf und eliminiere xi und xæ.

X Xutg 2 1 xe— xetg 4. 1 X 8 1 X y 1 XI xi tg 2 1 FG=m 0 1˙— 0 00 XZ x ts 2 1

2. r)2(m— mapr(tg 2 ¹) Gn= p) Ass= pr( 4 lange m tg 2= AG=x ist.

4—— m tg 4— 1)(pb— m). Ass wird positiv, so-

Wenn Ass positiv ist, stellt die Gleichung 2. Grades eine Ellipse vor. Der Parabel-

fall Ass= 0 tritt eine, wenn mtg 5= AG=r wird. Der Hyperbelfall Ass negativ liegt

vor, wenn mtg 2. r. A wird Null, wenn p ts 2= r, d. h. B auf a liegt. Dann artet die Hyperbel in das Geradenpaar a und b aus, vgl.§ 1, 1.

II. Die Gleichung der nach Fig. 17 möglichen Kurven lautet ebenso wie Gleichung I Man hat zu beachten, dass p— m eine negative Grösse ist. Solange A G grösser als r ist, wird Ass hier negativ, also Hyperbelfall. Dagegen ergibt A G kleiner alser den Ellipsen- fall, weil dann Ass positiv wird. 00

III. X*(r=— mrtg 2)— y?(m p+ p) x(mprtg 2+ mr ²)= 0. Die Gleichung bezieht sich auf Fig. 18.

00 m2² pr2(ptg 2+ 1) im) Am= pr(mtg 4— r)(m+ p)

A= 4