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Die Gleichung der Geraden(BX a A) lautet
81 82 83 ag X— al Xz— al X= 0 ct c* C
oder&l(— au ca Xxe+ aui cz X)— Es(az cs X+ au ci X)+ 83(al ci X+ az c= Xz)= 0. Der Punkt F=(BXaA b) hat die Gleichung
b b2 93 ai(cz X— cs X2.)—(asz ca X+ al ci Xs)(al ci+ a2 cz) X= 0 bi bz 0
oder—(ai ci+ aa ca) be Xa ui+(ai ci+ aa cz²) bi Xe Be+† lau bz(= XS— cs Xæ) +(as ca Xz=+ al ci Xs) bi] s= 0. Die Punkte F, X, C liegen auf einer Geraden, deshalb muss
XI XZ X3 —(au ci+ as cz) bz x(ai ci+ aa ce) bi X½ au be(cz X— cs X)+(az cs Xs+ al ci X) bi= 0 0 7 0
sein. Diese Determinante ist gleich 4 ai bz(czæ X— cs XZ) X1+.f(az cs X+ ai ci X) bi Xi+(ai ci+ aa ce) be Xæ XB= 0 oder (ai ci+ as cz) bz Xz X+h ai(bi ci+ ba cz) Xs XI+(as bi— au bz) ca X1 XE= 0.
Das ist die Gleichung des Kegelschnitts in Dreieckskoordinaten. Die Determinante A ist au be cs(ai ci+ aa ca)(bi ci+ be ca)(as bi— au ba).
A wird Null:
1. wenn al= 0, d. h. die Gerade a= ali Xxi+ a2 X2= 0 reduziert sich auf X= 0; Punkt B liegt auf a.
Der Kegelschnitt zerfällt in das Gerderzeeer a= XxXZ= O und be cz Xs+ bi ca x= O0.
2. wenn be= 0, d. h. die Gerade b= bi xi+ be X½= 0 geht in X= 0 über. Punkt C liegt auf B;
Der Kegelschnitt zerfällt in das Geradenpaar b= xI= 0 und aui ci α+ az cs Xε= 0.
3. wenn ca= 0. Punkt A liegt mit B und C auf einer Geraden. Die Kurve zerfällt in X= 0 und(au ci+ as cz) bz Xz+ au(bi ci+ be cz) xl= 0;
4. wenn au ci+ az cz= 0. Punkt A liegt auf a. Die Kurve zerfällt in X= 0 und ai(bi ci+ be cz) X+ cs(az bi— ai b) X½= 0;
5. wenn bi ci+ be cz= 0O. Punkt A liegt auf b. Die Kurve zerfällt in X= 0 und (au ci+ as z) bz Xs+(as b.— au bz) cs Xl= 0;
6. wenn as bi— aubz= 0O. Die Geraden a und b fallen zusammen, was sich als unbrauchbar erweist. Aus den Angaben kann man auch ersehen, wie die Kuryve zerfällt, wenn gleichzeitig zwei oder gar drei Faktoren der Determinante A Null werden, soweit solche Fälle überhaupt möglich sind.
§ 2.
Einer besonderen Untersuchung bedarf es, wenn B, C, K auf einer Geraden liegen und wenn die Geraden a und b parallel sind, weil dann das frühere Koordinatendreieck unbrauchbar wird. In diesen Fällen empfiehlt es sich, ein rechtwinkliges Koordinatensystem zu Grunde zu legen.