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1. B, denn wenn X in B fällt, so wird B X Null, also auch das ganze Produkt Null, der Gleichung wird genügt, das heisst B ist ein Punkt des Kegelschnitts;
2. C aus demselben Grund;
3. K den Schnittpunkt der Geraden a und b. Es fällt nämlich BKaAb wieder in K zurück, das Produkt nimmt die Form(K K C) an, was aber gleich Null ist. Mithin ist K ein Punkt des Kegelschnitts;
4. P den Schnittpunkt der Geraden AB mit der Geraden b.(BPaA b) fällt in P zurück, das Produkt nimmt die Form(P P C) an, was aber gleich Null ist. P ist auch ein Punkt des Kegelschnitts;
5. T den Schnittpunkt der Geraden A C und a.(CT b Aa) ist Punkt T, das Produkt bekommt die Form(T T B), was aber gleich Null ist. T ist auch ein Punkt des Kegelschnitts.
In den folgenden Paragraphen wird untersucht, wie bei gegebener Lage der festen Geraden die drei Punkte A, B, C liegen müssen, damit Kegelschnitte bestimmter Art entstehen.
§ 1.
Es erweist sich als zweckmässig, zuerst die Fälle zu behandeln, in denen ein Zerfall des Kegelschnitts eintritt. Die Gleichung desselben ist, wenn man Dreieckskoordinaten zu- grunde legt
ail X2+ 2 ale XI XZ+ aez XZ ²+f 2 als XI XS+ 2 a23 X XS+f a33 XS 2= 0. 911 91¹1² 921¹3 a?2l à2e 223 931 93³² A33 gleich Null gesetzt, so erhält man die Bedingungen für den Zerfall.
Wird die Determinante A=
Entwicklung der Kegelschnittsgleichung(BXaAbXC)= 0 in Dreieckskoordinaten.
Das Koordinatendreieck sei BCK. Die Gleichungen der Dreiecksseiten sind Xu= 0, XE=, X= 0, die der Geraden a und b 1. alx+ as XE2= 0, 2. bi XI+ be XS= 0, weil sie durch den Schnittpunkt von XI= O und X2= 0 hindurchgehen.
Die Gleichung der Geraden BX ist, wenn à1,&s,&s die laufenden Koordinaten sind,
Xi, XE, Xs die Koordinaten von X; g, o, o die Koordinaten von B; 0, J, o die Koordinaten von C; Gcl, ce, cs die Koordinaten von A
81 8 83 XI Xz xXS[— 0 d. h. XS 82— XZ 83= 0. 6 0 0
Die Gleichung des Punktes G=(B Xa) in Linienkoordinaten ist, wenn b.I, H., B. die variablen Linienkoordinaten sind L 9*2² L*3 0 XS— XZ al d²2 0
= 0 oder aa xXæ ba— ai Xe Bæ— al X B= 0.