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Während ⁊ die Werte von o bis 2R durchlauft, nimmtn alle Werte von+ 1 durch o bis— 1 an, wobei der Scheitel C des Drei- eckes ABO von B ausgehend einen vollen Umgang und zwar durch den größeren Kreisabschnitt zunächst nach A und von A durch den kleineren Kreisabschnitt bis B zurücklegt.

V. Aufsuchung der gemeinschaftlichen Theiler der Ausdrücke für die Dreieckseiten o, b, a.

Die Berechnung der gesuchten Dreieckseiten c, b, a wird am besten so geführt, dass in den Ausdrücken c=(n2+ m²) r+ 2 mn b= 2 mur+ 2 n2

a=(n2— m?) r„... 6.) r und q als gegeben und constant betrachtet werdeu. während für 2 nach und nach alle beliebigen Werte zwischen+ l und— 1 zuge-

lassen werden.

Dar und q stets einem rationalen rechtwinkeligen Dreiecke entnommen sind, so setzt sich r, wie die Gleichungen unter 8.) zeigen stets aus der Summe zweier Quadrate zusammen und ist wie die Zahlentheorie lehrt, eine jener Primzahlen oder ein Product solcher Primzahlen, welche durch 4 dividiert den Rest 1 geben, also eine der Zahlen

5, 13, 17, 25, 29, 37, 41, 53, 61, 65, 73, 85, etc. doch bringen schon kleine Werte für n und m selbst wenn auch q eine kleinere Zahl wäre so große Zahlen für c, b, a, dass die Bequem- lichkeit und die Vortheile rationaler Zahlen wieder verloren giengen, wenn es nicht gelänge, die erhaltenen Resultate abzukürzen oder gleich jene Fälle ausfindig zu machen, welche die kleinsten Zahlen für c, b und a liefern.)

Die obigen Ausdrücke für c, b, a lassen nun folgende Umge- staltung zu:

c—(n+ m)er— 2 mn(r— a) b.„2nd(n.) Lm n G) 2 r(n 1)( 1n).... 12.)

c=(n— m)er+ 2 mn(r+ a) b= 2 n q(n— m)+ 2mn(r+ a) a= r(n+ m)(n— m).... 13.)

Aus diesen unter 12) und 13.) angeführten Formen lassen sich nun folgende Theilbarkeiten herauslesen:

1. Haben n undr einen gemeinschaftlichen Theiler, so sind, wie beide Gruppen zeigen, die Zahlenergebnisse für c, b und a eben- falls durch denselben theilbar.

2. Ist n— m also auch n+u eine gerade Zahl, so sind c, b und a auch durch 2 theilbar.