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Ist also D eine Primzahl von der Form 4 n+ 3, so ist die Gliederzahl der Periode gerade.

Ist aber D eine Primzahl von der Form 4n+ 1, so ist die Gliederzahl der Periode ungerade.

Ferner lälst sich dann D in zwei Quadrate zerlegen.

11. Auflösung der Pellschen Gleichung.

Sind Pee. und— Näherungswerte von VD und der folgende Kettenbruchsnenner

As= A4s- 2 1L 9) B; B 1—.+ B. G VD+ M. — a= ELSa*, So ist 4 8 Setzt man. statt as, so erhält man statt des Näherungswertes 8 den genauen Wert von VD. Also ist v. Ms VD= n 1— Ee..VI. Be. M. J. Be N 84 veeu. As-1 VD-† A. 1 M. † 43.—2 N 451 L.e. 4.:

Daraus folgt As-1-D+ As— 1 M. VD+ A.— N. VD= B.— 1 VD+ B.—1 M.+ B.—2 N, also durch Scheidung des rationalen und irrationalen Teiles 9. Ba1 Ms Ba 2 Ns= As- 1 D. 10. As. 1 Ma As Ns= B.. Multipliziert man 9. mit— A.— 1 und 10. mit B.- und addiert, so erhält man 1 A? 1)= N(A„ Bs 1= s B.).

Multipliziert man aber 9. mit— A.— und 10. mit B.— und addiert, so erhält man B. PBe) A As=2= M.s(As s. 2= B. As- 2).

Nun ist aber A—2 B— 1— As— 1 B.— 2=+ 1, je nachdem s— 1 ungerade oder gerade

1— den Näherungswert von VD versteht, der zum(— 1) ten Nenner der s S1

Kettenbruchsperiode gehört, also den sten Näherungswert von VD. Demnach ist As— 2 Bs- 1— As- 1 Bs- 2=(— 1)8.

ist, wenn man unter

Folglich ist 11. B. 1= D A2=(- 1)*N., 12. B. 1 B.= 2— D As- 1 As=2=(— 1).1 M. Ist die Periode kgliederig, so ist Nx= Nek= N k=..= 1. Also hat man 13. Baw D Aar 1=(- l)“. Die Pellsche Gleichung te— Duz=z= 4 1 wird also aufgelöst durch t= Br.. B2 k= I.. Da k=.. Bak= 1... 1= Ak.. Az k= i Aa k= 1.. A4 K= 1... Ist k gerade, so lösen t= Buk-— 1 und u= Amx— 1 immer die Gleichung t— Du== † 1 auf. Ist k ungerade, so lösen dieselben Werte von t und u die Gleichung t— Du²=+ 1 auf, wenn m gerade, dagegen die Gleichung t— D u²z=— 1, wenn kꝛ ungerade ist. Die Glei- chung t?— D u?⁊=— 1 ist nicht auflösbar, wenn k gerade, also D eine Primzahl von der Form 4 n+ 3 ist.