Setzen wir X= a+ 1
so finden wir X= der positiven Wurzel der quadratischen Gleichung A 2(Bx Ax- ¹) 1— BX-= 0. Setzen wir dagegen X= ax+ 1
a-. 4 1 a1 d.. und bezeichnen den(K— 1) ten und Kten Näherungswert bezüglich durch 8 und 9 so erhalten xk k 1 wir axv X'²2—(8½— A- 1) X— S- 1= 0. Nun ist aber St.= Et und Ekal= Ab.. Pa x k 1 x=1 Ar—1
sämmtliche Näherungsbrüche in den kleinsten Zahlen ausgedrückt sind, so ist Sx= Bx, αx= Bx 1, Pr-1= Ax und ak— 1= Ax— 1. Dadurch verwandelt sich die quadratische Gleichung für x' in
folgende Bx- 1 X2—(Bx— Ax- 1) X— Ax= 0, deren positive Wurzel= 2 ist, wenn die nega- tive Wurzel der Gleichung AxXZ2—(Bx— Ax— 1) X— Bx- 1= 0 durch m bezeichnet wird.
9. Verwandlung der VD in einen Kettenbruch. Die Gleichung x½— D= O liefert keine reine Periode. Ist die grölste in VD enthaltene
ganze Zahl= a, so erhält man, wenn man α+ 2 statt X setzt, die Gleichung(D— α) X— 2 X
— 1= 0, welche eine reine Periode liefert. Ist diese kgliederig, so ist, wenn wir D—.= N.
2= 2 ML, 1= No setzen, auch Nr 4 1= D= a2², Mr 1=a; Nxæ= 1. Daraus folgt
ax= E(TI= 2, Mx= ax Nx— Mk 41= und Nx1= d= D— ². Die k
Gleichung, welche den Schlufs der Periode bildet, lautet also X½—- 2aX—(D— a*)= 0. Die
durch Entwickelung der positiven Wurzel von X½— 2X—(D—.²= 0 in einen Kettenbruch
entstehende Periode von Gleichungen muſs also die Umkehrung der durch Entwickelung der
positiven Wurzel von(D— α) X— 2a X— 1= 0 in einen Kettenbruch entstehenden Periode .„.— 1 von Gleichungen sein, wenn man nur in der einen Periode—— statt setzt. Ist also die
ste Gleichung in der Entwickelung von(D—.l( ½+— 2ax— 1= 0 folgende ax²— 2 bz— c= 0, so muſs die(k— s+ 1)te heifsen cx— 2 bz— a= 0. Auch die Periode der Kettenbruchs- nenner für die positive Wurzel von X½— 2X—(D—)= 0 mufs die Umkehrung der Periode der Kettenbruchsnenner für die positive Wurzel von(D— αl²) X— 2a X— 1= 0 sein. Die positive Wurzel der Gleichung(D—) X— 2X— 1= 0 hat aber die Kettenbruchsnenner: q1, l., qg... qk— 2, qx— 1, 2; dagegen hat die positive Wurzel der Gleichung x— 2 Xx(D— a*)= 0 die Nenner 2, di, da... qx- 2; ux- 1. Demnach ist a= ax 1, a,= ax-*, az= ar. 3 u. s. w Mithin hat der die VD darstellende Kettenbruch die Glieder, au, as, a,... ag, ax, al, 2.
3..