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Es ist nach obigem 72(B2— AC)+ 27(BD— AE)+ D2— F identisch mit„2zu²+ 2uv+ v2, woraus sich ergiebt:

u²2= B²2— AC,

vZ2= D2— AF,

uv=(BD— AP).

Demnach muß für den Fall, daß die allgemeine Gleichung zweiten Grades zwei Geraden darstellt, die Gleichung ihrer Koeffizienten bestehen:

(B2— AC)(D2=— AP)=(BD— AE)z, oder ACF+ 2 BD E— AEz— EDz— FB2= O0.

Sehen wir nun von diesem Fall ab und nehmen an, die Wurzel von P könne reell sein, so stellt die Gleichung vom zweiten Grade einen Kegelschnitt dar.

Als erste Frage wird die zu erheben sein, ob die Kurve im Endlichen verläuft oder sich ins Unendliche erstreckt. Diese ist nun nach dem hier benutzten Koordinatensystem leicht zu beantworten. Wenn das letztere der Fall ist, so muß die unendlich ferne Gerade, deren Gleichung nach II. (am Schlusse)

aα+= 0

ist, die Kurve schneiden oder berühren, d. h. zwei oder einen Punkt mit ihr gemein haben. Verläuft die Kurve im Endlichen, so kann die unendlich ferne Gerade keinen Punkt mit ihr gemein haben. Die gemeinschaftlichen Punkte zwischen der genannten Geraden und der Kurve werden erhalten, wenn man in der Gleichung der letzteren«=— setzt. Es entsteht —(D— F)+ VOD—- P)z— FA&- 2B—+— C) SSe-eBeO Man wird also unterscheiden:

(D— E)2z F(A— 2B+ C): Hyperbel.

(D— E)z= FA 2B+O): Parabel.

(D— E)z=ZFA&- 2B+ C): Ellipse.

Ist in der allgemeinen Gleichung Aaν+‿ 2Ba„+† Cy2+ 2D+‿ 2Ey+ F= 0

A= 0, so entspricht einem Werte von„ immer nur ein Wert

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