III. Die Gleichung vom zweiten Grade.

Die allgemeine Form der Gleichung vom zweiten Grade ist:

Aaz²+ 2 B+ Cy²+ 20D+˖ 2Ey F= O. Löst man sie in Beziehung auf auf, so entsteht:

1) a==(y.D-HVG De AdO I. A

So lange P=(B+ D) 2— A(Cy ²+ 2 Ey+ F) o, gehören zu jedem Werte von„, insofern dadurch P0 ist, zwei Werte von„, d. h. der Strahl„ schneidet die Kurve in zwei Punkten; die Kurve ist also zweiter Klasse. Wird P Null, so gehört zu dem Wert von y, der P auf Null bringt, nur ein Wert von, der Strahl„ berührt also die Kurve.

Nun hat aber der Ausdruck:

(By+ D)2— A(Cy2+ 2Ey+ F) zwei Wurzeln, also kann man von einem Punkte aus zwei Tangenten an die durch die allgemeine Gleichung vom zweiten Grad dargestellte Kurve ziehen: dieselbe ist also nicht allein zweiter Klasse, sondern auch zweiter Ordnung, ein Kegel- schnitt.

Ein besonderer Fall tritt ein, wenn der Wurzelausdruck P- ein vollständiges Quadrat ist. Nach geordnet, heißt derselbe: 7²(B2— AC)+ 2)(BD— AE)+ D2— AF und ist als vollständiges Quadrat von der Form:

u+‿*

Der Ausdruck 1) wird dann zu:

w(ByD) n A

und stellt in den Formen:

aA+„(B— u)+† D— v= O0

aA+„(B+ u)+†D †v= XYM zwei Linien dar, die übrigens auch imaginär sein können. Die Bedingungen für diesen Fall ergeben sich aus folgendem: