IV. Die Gleichung vom zweiten Grade.

Die allgemeine Form der Gleichung vom zweiten Grade ist: Aaꝛ²+ 2Bay+ C)2+ 2Da+ 2E)+ F= 0. Wie schon in I. gezeigt wurde, stellt dieselbe im allgemeinen einen Kegelschnitt dar, was aber auch, abgesehen von dem dort angeführten Grunde, aus der Gleichung selbst ersichtlich ist. Denn löst man sie in Beziehung auf α auf, so entsteht:

— Gr D I D AXO7 2 † P) 1) a—— 4— 21 † b)

So lange P=(By+ D)²2— A(Cy²2+ 2E)+ F) 0, gehören zu jedem Werte von„ insofern dadurch P=0 ist, zwei Werte von 7, d. h. der Strahl schneidet die Kurve in zwei Punkten; die Kurve ist also zweiter Klasse. Wird P Null, so gehört zu dem Wert von„, der P auf Null bringt, nur ein Wert von, der Strahl„ berührt also die Kuryve.

Nun hat aber der Ausdruck

(By+ D)z— A(C,2. 2E/+ P) zwei Wurzeln, also kann man von einem Punkte aus zwei Tangenten an die durch die allgemeine Gleichung vom zweiten Grad dargestellte Kurve ziehen: dieselbe ist also nicht allein zweiter Klasse, sondern auch zweiter Ordnung, ein Kegelsehnitt.

Ein besonderer Fall tritt ein, wenn der Wurzelausdruck P ein vollständiges Quadrat ist. Nach y geordnet, heißt derselbe:

p²(B2— AC)+ 27(BD— AE)+ D2— AF und ist als vollständiges Quadrat von der Form

(u+ v)².

Der Ausdruck 1) wird dann zu —(By+ D)+ 9(vu+ v) 68 A

und stellt in den Formen &+‿ 7(B— u)+ D— v= O0 A+ 7(B+ u)+ D+V= òRM zwei Linien dar, die übrigens auch imaginär sein können. Die Bedingungen für diesen Fall ergeben sich aus folgendem: Es ist nach obigem 72(B2— AC)+ 27(BD— AE)+ D2— F identisch mit „2u2+† 2 unv+ 22, woraus sich ergiebt: u²2= B2— AC vZ2= D2— AF uv=(BD— AE) Demnach muß für den Fall, daß die allgemeine Gleichung zweiten Grades zwei Geraden darstellt, die Gleichung ihrer Koeffizienten bestehen: (B2— AC)(Dz— AF)=(BD— APE), oder ACF+ 2 BDE— AEz²— ED2²— FBZ2= O0.