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Sehen wir nun von diesem Fall ab und nehmen an, die Wurzel von P könne reel sein, so stellt die Gleichung vom zweiten Grade einen Kegelschnitt dar.

Als erste Frage wird die zu erheben sein, ob die Kurve im Endlichen verläuft oder sich ins Unendliche erstreckt. Diese ist nun nach dem hier benutzten Koordinatensystem leicht zu beantworten. Wenn das letztere der Fall ist, so muß die unendlich ferne Grade, deren Gleichung nach II.(am Schlusse)

α—)= 0 ist, die Kurve schneiden oder berühren, d. h. zwei oder einen Punkt mit ihr gemein haben. Verläuft die Kurve im Endlichen, so kann die unendlich ferne Gerade keinen Punkt mit ihr gemein haben. Die gemeinschaftlichen Punkte zwischen der genannten Geraden und der Kurve werden erhalten, wenn man in der Gleichung der letzteren=„ setzt. Es entsteht

2 ee=CDADOTDEAE

A+ 2B+ C Man wird also unterscheiden: (D+ FE)2z F A+X 2B+ O): Hyperbel. (D+ E)2z= F A+ 2B+ O): Parabel. (D+ E)z ZF(A+X 2B+ O: Ellipse.

Um die Eigenschaften dieser Kurven kennen zu lernen, vereinfacht man die Gleichung, indem man die Pole durch Transformation der Koordinaten in nähere Beziehung zu den Kurven bringt. Wendet man zu diesem Zwecke auf die allgemeine Gleichung vom zweiten Grad die früher gefundenen Transformationsformeln an:

1X+ dJ f XEy Pg „—?iX+„ev+ 1 Xy g so erhält man, nach x und y geordnet, die Gleichung X2(&aiε † 2 Bair 4 Cn2 2Da † 2Ep † P) + 2(Acν † 2 Baere C22+r 2Das+ 2 Lye+. P) + 2 y[Aalαν+ B(divπν demνοι)+ Cylye D(al+† az)+† E 1+ 72)+ P + 2X lta(A+f B)+ t(+ C)+ D E+ 2a.)+ E(C+ g71)— gF) + 2 ſta⸗(A+ B)+ t(B+ C)+ D(t+ gl*) E(f+ g72)+ gF + f² A+ 2B+ C)+ 2 fg(D+ E)+† n?F — 0

Sofort springt in die Augen, daß die Faktoren der zweiten Potenzen von x und y von der Form der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades sind und aus dieser entstehen, wenn man ausdrückt, daß die Punkte α, ν und a, 7½ auf der Kurve liegen sollen.

Bestehen also die Gleichungen:

A²+̃ 2 Bar+ Cyl²+f 2 Da+. 2 Ep+ F= 0

AG+. 2 Bae Cy2²+. 2 Dar+. 2 Eye+ F= O, so sind die Pole auf die Kurve verlegt. Da dies immer möglich ist, so kann jeder Kegelschnitt in der Form

2) ay+ ma+†. n„+ p= 0

dargestellt werden. Ob es eine Hyperbel oder eine Ellipse oder eine Parabel ist, wird, wie früher erkannt, wenn man die Beziehungen der Kurve zur unendlich fernen Geraden untersucht, d. h. in der Gleichung des Kegelschnitts«=„ setzt. Dies ergiebt