J. Die Koordinaten.

Ausgehend von einer Strecke(Basis) AC= b, läßt sich ein Punkt P als Schnittpunkt zweier durch A und G gehenden Geraden, die gegen die Basis unter den Winkeln und„ geneigt sind, festlegen. Da eine Gerade durch eine halbe Umdrehung um einen Punkt die Ebene beschreibt, so genügt es, um sämtliche Punkte der Ebene als Schnittpunkte der durch A und C gehenden Geraden zu erhalten, daß die Winkel und„ die Werte von 00 bis 1800 durchlaufen, und zwar wird dabei vorausgesetzt, daß dieselben durch Drehung der Geraden in derselben Richtung gemessen werden. Goniometrische Funktionen dieser Winkel, vorzugsweise die Kotangenten derselben, die der Kürze halber mit und„ bezeichnet werden, sollen im folgenden als Koordinaten des Punktes gelten.

Da die Winkel und spitz oder stumpf sind, so können die Kotangenten derselben ver- schiedene Vorzeichen haben, und es werden sich demgemäß folgende Kombinationen, die die Lage eines Punktes zur Basis und den in A und C senkrecht zur Basis errichteten Geraden(Seitenachsen) bedingen, ergeben(s. Fig. 1):

a.+ a,—, Punkt Pe. pb.— a,„, Punkt P. 3

Die Punkte, die durch ungleiche Vorzeichen der Koordinaten bestimmt sind, liegen insgesamt

in dem durch die Seitenachsen begrenzten Streifen.—

c. a, y, Punkt Pi oder Pz.

d.— a,—, Punkt Pa oder Pz. Welcher von den beiden Punkten in den Fällen c., resp. d. gemeint ist, wird durch das Verhältnis der absoluten Werte von α und bestimmt. Ist im Fall c.:

Z PiAC Z PlOh, also + a—*†7

so liegt der Punkt in Pi, im anderen Falle in Pz. Die gleiche Betrachtung gilt auch für den Fall d.

Eine Gleichung, die eine Beziehung zwischen und„ und beliebigen Konstanten vermittelt,

stellt ein geometrisches Gebilde der Ebene dar. So ist z. B. 1—= n eine Parallele zur Achse, a)= p je nach dem Vorzeichen eine Ellipse oder Hyperbel, und wenn p=— I, ein Kreis, u. s. w.

Zur Transformation eignet sich am besten der Ubergang zum rechtwinkligen Parallelkoordinaten-

system. Liegt dessen Ursprung in der Mitte von AC, so ist:

0ot&= a=(ℳ 9. y

4 b Cotgy= 7=. y und umgekehrt: b? b