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Analytisch lassen sich die besonderen Fälle der Hyperbel aus der Gleichung II folgender- maſsen entwickeln:
1)—.%.ꝗ)=— A, 7o= CO.
Die Gleichung zerfällt in
(A— a)(C— p)= 0 oder A= a, C= 7,
was die beiden Seiten des Dreiecks bedeutet.
2) Ko= o und Z. A.
Es entsteht die Gleichung der Fllipse
ao(+a— A— C)=— A0, die für 7M a= R die einfache Form annimmt: 21= A0C.
3) Wird in der vorhergehenden Form der Ellipse ½ A= C C= R, so ist x= 0, 1= 0,
die Kurve erstreckt sich in den Seitenachsen, während
4) die allgemeine Gleichung I die Parabel darstellt, wenn A= Z C= R.
5) Der Punkt o, Yo oder 9 liegt auf der Basis; also o=+ 0, ẽ=+ 03. Es ent- steht die Gleichung:
C+ 35(a— A)= O0.
Wird das Verhältnis der Strecken, die Jurch den Punkt 9o auf der Basis bestimmt wer- den, m genannt, so besteht die Gleichung:
m(a— A)+— C= O0.
Dieselbe ist vom ersten Grad, stellt also eine Gerade dar und geht durch den Punkt B, denn für a= A ist y= C; sie teilt die Basis ebenfalls im Verhältnis m, doch hat m das entgegengesetzte Vorzeichen; denn für a=+oo und=+oo ist
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Daraus folgt, daſs der Strahl von B nach dem Basispunkte ο, B6o, und die Gerade m(α— A)+— C= 0, B, mit den Seiten a, c des Dreiecks ABC einen harmonischen Strahlbüschel bilden.
Hiermit ist die Grundlage für die Geometrie des vollständigen Vierseits gewonnen; a, y, a, c sind die Haupt-, B9, B6, AC die Nebenseiten desselben, und der vorstehende Satz lautet als Vierseitsatz:
Im vollständigen Vierseit bilden zwei Seiten, die durch ihren Schnittpunkt gehende Neben- seite und der durch den Schnittpunkt der beiden anderen Nebenseiten gehende Strahl einen harmonischen Strahlbüschel.
Auch in der Kurventheorie findet dieser Satz Anwendung. Wenn die Gleichung I des Kegelschnitts auf den Satz gegründet ist:
Eine Gerade, die sich um einen Punkt dreht, bestimmt auf zwei Seiten eines Dreiecks zwei Punkte, so daſs der geometrische Ort des Sehnittpunktes zweier Strahlen, die diese Punkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Dreiecks verbinden, ein Kegelschnitt ist, der durch die Ecken des Dreiecks geht; so bilden die Seiten des Dreiecks a, c die Strahlen, die den Punkt bestimmen,, y die Hauptseiten, die Basis AC die Strecke der durch den Punkt gehen- den von a und c begrenzten Geraden und die Strecke B6 die Nebenseiten eines vollständigen