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Diese Gleichung stellt, nach Analogie des im vorigen Abschnitte Gesagten, eine Kurve dar, die durch die Schnittpunkte der Strahlen x, 2 bestimmt ist, wenn sich die Gerade um einen festen Punkt œᷣ, vo dreht. Werden in diesem Fall x, 1 mit a, y vertauscht, so ist:

II. aiᷣ(— C)+ 7( ‧— A)= ay— A0C die allgemeine Gleichung des Kegelschnitts in Punktkoordinaten, während dieselbe in Linien- koordinaten lautet:

III. xo(4— C)+ 1(x— A)=— AC.

Besondere Fälle dieser beiden Gleichungen sind die in dem vorhergehenden Abschnitte

die Grundlage zu den dortigen Theorieen bildenden Kurven

ai † T= ay,

x+ 10½= 27, indem dieselben aus den Formen II und III entstehen, wenn man dadurch, daſs man den Winkeln A und C den Wert R erteilt, die Seiten des Dreiecks AB und AC zu den bekannten Seitenachsen macht.

Aus der Identität der Formen II und III, die in einander übergehen, wenn ⁊, 1 mit a, y vertauscht wird; läſst sich erkennen, daſs die für II geltenden Sätze auch auf III zu beziehen sind, nur muſs dann anstatt des Ausdruckes Punkt Linie und umgekehrt gesetzt werden.

Im folgenden soll sich deshalb auf die Diskussion der Gleichung II beschränkt werden, und zwar soll als wegweisender Pol mehr der Punkt α, yo die Art, wie durch seine Führung die Kurve entsteht, als die Eigenschaften der Gleichung dienen.

Vor allem leuchtet ein, daſs die Eckpunkte des Dreiecks ABC auf der Kurve liegen und daſs die vom Punkte o, yo, dem Pol, an die Kurve gezogenen Tangenten durch die Eckpunkte A und C des Dreiecks ABC gehen, daſs also die Basis die Polare des Punktes o, vo in Bezug auf den Kegelschnitt II ist. Innerhalb der Winkelräume, die von je einer vom Pol an die Punkte A und C gezogenen Tangente und der Verlängerung der anderen gebildet werden, kann die Kurve sich nicht erstrecken. Sie muſs also aus zwei, von einander getrennten Zweigen bestehen. Es ist die Hyperbel, die durch besondere Lagen des Pols und einen besonderen Fall des Grunddreiecks in der Form des Punktes, der Doppelgeraden, der Ellipse, zweier sich schneidenden Geraden, der Parabel erscheinen kann. Bewegt sich nämlich der Pol innerhalb des Dreiecks ABC nach der Spitze B hin, so bestimmt er in jeder Lage eine Hyperbel, deren einer Zweig durch A und C, der andere durch B geht. Beide schmiegen sich immer mehr den Seiten des Dreiecks AB und BO an, bis sie endlich, wenn der Pol den Punkt B erreicht, mit diesen zusammenfallen. Entfernt sich der Pol über B hinaus, so entfalten sich die beiden Geraden wieder zu Hyperbeln, jedoch in der Weise, daſs die Eckpunkte des Dreiecks nur auf einem Zweig liegen, während der andere von dem sich nähernden Pol immer mehr in den unendlichen Raum zurückgedrängt wird, aus dem positiv Unendlichen nach der anderen Seite der Basis— ins negativ Unendliche— übertritt und mit dem durch die Punkte A, B, C gehenden, von der Basis AC ins Negative sich erstreckenden Kurvenzweig teilweise zusammen- fallend eine geschlossene Kurve— die Ellipse— bildet. Rückt in diesem Fall die Spitze des Dreiecks von AC nach dem Unendlichen hin weg, werden also die Seiten des Dreiecks AB und CB parallel, so streckt sich die Ellipse immer länger und geht schlieſslich in die beiden Seitenachsen über, wäührend unter der gleichen Bedingung die Hyperbel zur Parabel wird. FEin Fall bleibt noch zu betrachten. Was wird aus der Hyperbel, wenn der Pol auf der Basis AC liegt? Die vom Pole an die Punkte A, C gezogenen Tangenten sind dann der eine Kurvenzweig selbst, die Basis, der andere ist eine durch B gehende Gerade.