(m— mi)(m.— ma)(a— al)(α— an)

(m— ma)(mi— ma)*(a—)(a— as) so ist in obiger Gleichung die Gleichheit so ist in der obigen Gleichung die Gleich- des Doppelverhältnisses zweier Punktreihen heit des Doppelverhältnisses zweier Strahl- ausgedrückt. büschel ausgedrückt.

Hiermit ist der Berührungspunkt der analytischen und synthetischen Geometrie gewonnen; denn auf die Gleichheit der Doppelverhältnisse von Punktreihen und Strahlbüscheln ist be- kanntlich die Geometrie der Lage der Kegelschnitte gegründet.

Alle die Begriffe, die in der Steiner'schen Geometrie eine Rolle spielen, sind auch hier von Wichtigkeit:.

Die Gleichheit des Doppelverhältnisses Die Gleichheit des Doppelverhältnisses von zwei Punktreihen— Projektivische von zwei Strahlbüscheln— Projektivische Punktreihen. Strahlbüschel.

Die perspektivische Lage von projek- Die perspektivische Lage von projek- tivischen Punktreihen und Strahlbüscheln. tivischen Strahlbüscheln und Punktreihen.

Die perspektivische Lage von projek- Die perspektivische Lage von projek- tivischen Punktreihen. tivischen Strahlbüscheln.

Es sollen hier nur obige Sätze von der Gleichheit der Doppelverhältnisse in die Sprache der neueren Geometrie übersetzt werden.

Bestimmen vier Gerade auf zwei ge- Bestimmen vier Punkte gegen zwei gebenen Geraden projektivische Punktreihen, gegebene Punkte ein projektivisches Strahl- so hüllen sie, wenn sie nicht perspektivisch büschel, so liegen sie auf einem Kegel- liegen, einen Kegelschnitt ein; die den schnitt; die den Strahlbüscheln perspekti- Punktreihen perspektivischen Strahlbüschel vischen Punktreihen sind selbst perspekti- sind selbst perspektivisch und ihre Mittel- visch und gehen durch die beiden gege- punkte liegen auf den beiden gegebenen benen Punkte.

Geraden.

Dals in diesem Satze mit Recht Kegelschnitt gesagt werden konnte, während die Gleich- ungen:

a+᷑ Pol= Hy, x. ‧+ X= 24

doch nur besondere Arten derselben darstellen, wird aus dem folgenden Abschnitt klar werden.

IV. Die Kegelschnitte.

Die Grundlage der nachstehenden Betrachtungen bildet das Dreieck ABC, dessen Basis AC ist. Werden dessen Seiten von einer Geraden in den Punkten D, F, G getroffen und heiſsen die Winkel FAG, FCG beziehungsweise x, 1, so lautet die Gleichung der Geraden, der Geraden(/α— 7i)+†(ar— a*)= y— αy entsprechend: I. a(⁴— C)+(— A)= 1— AC.

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