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Vierseits. Heifsen die Schnittpunkte der Nebenseite BG mit den beiden anderen Nebenseiten bez. x und y, so bilden die vier Punkte B, 9, x, y eine harmonische Punktreihe. Beschreibt demnach g einen Kegelschnitt, so bewegt sich y auf einer Geraden, der Polaren des Punktes, durch welchen die den Punkt x enthaltende Gerade geht. Hieran lassen sich leicht die Fragen nach den Kegelschnitten, die einen Mittelpunkt haben, anschlieſsen.

Schlieſslich sei noch ein analytischer Beweis für den Lehrsatz von Pascal:

„Die Durchschnittspunkte von je zwei gegenüberliegenden Seiten eines Sechs- ecks, welches in einen Kreis beschrieben ist, liegen in gerader Linie“ gegeben.

In einem Sechseck(s. Fig. 6) seien die Ecken durch die Ziffern 1 bis 6 bezeichnet und die Koordinaten der Ecken 2, 3 etc. seien bezüglich α,„½; αs,)s u. s. w., so heilſst die Gleichung der Geraden, die die Ecken 4 und 5 verbindet,

a(õ⁴— 7)+ 7(sᷣ— a⁴)= as— dars; die Gerade 1 2 ist a= ax, und es ergeben sich demnach als Koordinaten des Schnittpunktes I der beiden Geraden

a= 9

2)4—*ε/+ Ca)5— s)4

. 71—— a. Die Geraden 23 und 56 haben bezüglich die Gleichungen a(·νν—)+ 7(s— aꝛ)= asys— u*

7= 75. Der Schnittpunkt beider ist demnach

dzys— agys † he— aps

a 72— 7 711— 75 Die Gerade I II teilt die Basis 1 6 im Verhältnis von l— all 71— 711 4

und dies ergiebt sich aus den vorstehenden Werten von ar, 7I u. s. w. als (d— a)(ad— a)(N— 75) (2— 7)(õ/— 7)(a— as) Teilt die Gerade 3 4 die Basis 16 in demselben Verhältnis, so gehen die Geraden I II und 34 durch einen Punkt, III. Dies ist der Fall, wenn

(au— 3)(d— as)(—) as— a. (7.= 7)( 75)(a.— z) 74— 7. Soll demnach der Lehrsatz von Pascal erfüllt sein, so muſs: (— aAl)(al. 2½)—(14.— 13)(7.—) (.— àa*)(al— a)(7 7) 73) Dies ist der Fall, wenn die vier Gleichungen bestehen: a(/·— C)+ 7(as— A)= axre— A0, «(— C)+ 7(as— A)= asys A0, a(— C)+ 7(α— A)= alr— AC, aoο(·71— C)+ 7(as— A)= asys— A0;

denn diese bedingen die Determinante