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Das Verhältnis der Schnittpunkte der beiden ersten bestimmt sich zu:

a.. 1u. u. „ vI— v2 Da nun uu †. u= u2+ v.= b, so wird u— u.=—(ur— v) und a A.=— 1 7

sein. al und y sind also. gleiche Winkel und Fenngen der Gleichung der Geraden, wenn„= α

= 9r; dieselbe lautet dann:

vio † ue= b oder

9i(u+ vn)= bgGi. Demnach ist der Schnittpunkt der parallelen Geraden zugleich der der ihnen parallelen Strahlen a und y. Allgemein ausgedrückt lautet der Satz: Alle Geraden, die parallel sind, schneiden sich in einem, unendlich fern gelegenen Punkte.

2. Der Winkel, den zwei Geraden bilden, ist à= 4. 9 9.

Bestimmt man die Kotangente derselben aus dem Schnittpunkte der beiden Geraden

α£εα„u= bG

νρ‿ν½*νyuj= bG

und deren Abschnitten auf der Achse AC, so entsteht Cot A(αν έμ‿τννν*(uνe+.„)+ b= bla(ue— uu)+(us— ui)]“

oder nach und y geordnet: aεναννν+υ‿νmαά(uiu † uzur)+ p uru— ab cot α(u.— uut)— yb cot d(u.— u—)+ b²= 0.

Haben die Teilpunkte der Strecke AC(A“, Ci) eine feste Lage, so stellt diese Gleichung den geometrischen Ort des Schnittpunkts zweier Strahlen dar, von dem aus die Strecke zwischen den beiden obigen Teilpunkten unter dem Winkel erscheint. Von den Teilpunkten aus be- trachtet, d. h. wenn die Strecke ACi als Basis angesehen wird, ist die Gleichung dieser Kurve

Gegi+ u(r— Ge)=— l!,

was immer einen Kreis vorstellt. Die Strecke ACi hat derselbe als Durchmesser, wenn ½= 0.

Obige Gleichung wird dadurch zu

.ενιινι£‿τ αἀ(uiv u⸗ di)+ 7 2u b2= 0. Teilen gar die Punkte ArCi die Strecke AC harmonisch, so verhält sich: ui: u=:— ve.

Dann ist uiwz+ uzu= 0, und die Gleichung des Kreises, der zwei den Punkten A, C kon- jugierte Gegenpunkte hat, lautet:

²

. drb2—„². uius= b. d= vi+ v Eine besondere Eigenschaft der konjugierten Kreise läſst sich aus obiger Gleichung er- kennen. Eine Gerade, die durch A geht, schneidet im allgemeinen den Kreis ArCi in zwei Punkten, z. B. D und F(s. Fig. 3).

Der Durchmesser ist: