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Der Wert ay ist entweder positiv, oder negativ. Das erstere ist der Fall, wenn die Ko- ordinaten a, y gleiche Zeichen haben, also beide spitze Winkel sind, das letztere, wenn der eine Winkel spitz, der andere stumpf ist. Es sind demnach zwei Kurven zu unterscheiden, Ist ay— 0, so erstreckt sich die Kurve vollständig in dem Raum, der von den Seitenachsen begrenzt wird. Im zweiten Fall liegt die Kurve vollständig aufserhalb dieses Raumes und besteht aus zwei Zweigen, die sich beide ins Unendliche erstrecken. Erreicht wird dieses von den Punkten der Kurve, wenn der Winkel der Strahlen a und y Null beträgt. Dann ist =— y,—=— pe, wenn ay=— p',«= † p. Halbiert wird der Winkel der Strahlen x, y durch die Gerade, die den Winkelpunkt derselben mit der Mitte von AC verbindet; denn heiſst die Gerade x, die Winkel, die sie mit den Strahlen a und y bildet, m und n, so bestehen die Gleichheiten:

a sinm sinn

X sing in) Nun ist nach der Voraussetzung sin«= sin y, also auch m= n.

Da es die Asymptote ist, die einen unendlich fernen Punkt mit einer Kurve gemein hat, so kann dieselbe definiert werden als die Gerade, die den Winkel, der von zwei von einem unendlich fernen Punkte der Kurve aus nach den Punkten A, resp. C gezogenen Strahlen a,„ gebildet wird, halbiert. Nun erklärt sich auch der Wert von p; er ist das Verhältnis der bei- den Achsen der Kurven. Da die Gleichung der Kurve: ay=— pe dieselbe bleibt, wenn man a mit y vertauscht, resp. beider Vorzeichen wechselt, so liegt dieselbe symmetrisch sowohl gegen die Basis AC, als auch gegen die darauf senkrechte Mittelachse. Dasselbe gilt für die Kurve: ay=+ pe.——

Die Parabel kann durch das Produkt der beiden Variabeln allein ebenso wenig dargestellt 2 2 werden, wie dies in der Form: 5*— Ir=+ 1 der Fall ist. Dagegen lälst sich eine

einfache Gleichung derselben herleiten, wenn zur Bedingung gemacht wird, daſs ihr Scheitel auf der Mittelachse liegt. In diesem Fall muſs in der Gleichung des Kegelschnitts:

bar † da ey+ f= 0

a=— y gesetzt werden. Es ergiebt sich

a==r=+ dG— e) Vd= † 1f.

Wenn a und y eindeutig bestimmt sein sollen, wie es ja der Fall sein mufs, da ein Kegel- schnitt mit einer Geraden nur zwei Punkte gemein haben kann, und derselbe durch A resp. C geht, so muſs:

(d— e)?=— 4 bf sein. Wird angenommen, die Kurve liege symmetrisch gegen die Mittelachse, so mufs durch Vertauschen von a und y und Zeichenwechsel derselben keine Anderung in der Gleichung ein- treten. Dies ist der Fall, wenn d=— e ist. In der vorhergehenden Gleichung dies berück- sichtigend wird 4 d² 4 ²

f=.)=-h= d— e wenn b, wie immer möglich, der Einheit gleich gesetzt wird. Die Parabel wird demnach in der Form:

WV. ar †. d(a-)= r= dargestellt. 1*