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Weil in beiden Beziehungen die Werte von a und y, durch x und y ausgedrückt, sowie die von x und y, durch a und y ausgedrückt, gleiche Nenner haben, die die Koordinaten in der ersten Dimension enthalten, wie dies auch bezüglich der Zähler der Fall ist, so wird bei dem Übergang vom einen zum anderen System der Grad der Gleichung nicht geändert. Wird angenommen, daſs die allgemeine Gleichung des Kegelschnitts in rechtwinkligen Koordinaten sei:

ax+ bxy+ cyz+ dx+ ey+ f= 0, so wird sie in Winkelkoordinaten lauten: I. alas+ biay+ ci)+ dia+ eiy+ fI= 0, und alle Folgerungen, die sich aus der ersteren Gleichung ergeben, gelten auch für die letztere. Um einen Begriff zu geben, wie einfach die Hilfsmittel sind, mit denen das neue System operiert, soll die Aufgabe gelöst werden, durch die Fundamentalpunkte A und C einen Kegelschnitt zu legen. Da ein Kegelschnitt durch fünf Punkte bestimmt ist und in der gestellten Aufgabe zwei gegeben sind, so müssen in der Gleichung I. die fünf unabhängigen Koeffizienten auf drei reduziert werden können. Dies ist auch der Fall. Vom Punkte A aus erhält man den Punkt C als Schnittpunkt der Basis AC mit der Tangente im Punkte C; dasselbe gilt für den Punkt A in Beziehung auf C. Für die Basis AC. gelten bezüglich die Werte QCQaα= 0, 7= 2 R, oder= 03,=—. Dividiert man die Gleichung I. durch as, so entsteht: 7 ² d f . E e()+ e 1 † r=0.

Da 4. nach der Voraussetzung Null zur Grenze hat und die Werte 4 und 3 Null sind, so muſs a= 0 sein. Dividiert man I. durch„², so erhält man C= 0. Die Gleichung eines Kegelschnittes durch die Punkte A und C' ist demnach: 2

II. bay+ da+ ey+ f= 0. Dieselbe enthält drei unabhängige Koefficienten, wie es nach der Aufgabe erfordert wird.

Soll diese Gleichung auf noch einfachere Form gebracht werden, so müssen weitere Be- dingungen gestellt werden. Diejenige, welche die einfachste Form des Kegelschnitts bewirkt, besagt, daſs die Tangenten in den Punkten A und C senkrecht zu der Basis seien. Um die

Gleichungen der Tangenten in A resp. in C zu erhalten, müssen die Kotangenten a resp.„ gleich- Null gesetzt werden. Dann entsteht aus II.:

f 1) v 4d+= 2) 2 13 e=o Da 2— 15 sowie— Null sind, so ergeben sich, wenn nun vorausgesetzt wird, daſs die Tangenten in A und C senkrecht, die Winkel a und y Null sind, die Bestim- mungen aus 1): d= 0 aus 2): e= 0, so daſs die Gleichung eines Kegelschnitts, der durch A und C geht, und dessen Tangenten Lote in A und C sind, lautet: III. bay— f= 0,

was schon früher angenommen wurde.