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Denkt man sich in ihnen g und y variabel, die Winkel, welche von den Geraden 1) a, b, c mit dem Lothe auf BC gebildet werden und die qli,&e und ꝗ9s heiſsen sollen, in be- stimmter Beziehung zu einander stehend, so entwickeln sich gewisse Verhältnisse zwischen den Lothen auf die Seiten und den Winkeln des Dreiecks, von denen hier ein Fall betrachtet werden soll. Zwei Ecklinien des Dreiecks seien auf einander senkrecht; also Gr— Ge= R;„i= 9+ R. Dann wird tg Gi=— cot ga. Aus 1) a und 1) b entwickeln sich bezüglich pe cos G— pi cos„ pz sin β+ pi sin„ P+ ps cos 8 bo sin. Es besteht demnach unter obiger Bedingung die Gleichung: pe cos G— pi cos„ʒ ps sin 9 Pe sin G+. pi siny phi †. Pa cos die in ihrer Entwickelung sich gestaltet zu

2) Ppipe cos G+ pips cos+.¶ paps— pi² cos= 0 Für ps= 0 wird

tg 91=

tg ½=

P— Pa

cos G cos„; beide Werthe stellen das vom Eckpunkte A des Dreieks ABC auf die Seite BC gefällte Loth dar. Ebenso ergibt sich das Loth von B auf AC für pz= 0 als

Pz— Pi

cos y cos Welche Bedeutung hat nun die Gleichung 2)? Denken wir uns das Dreieck ABC als gegeben, so wird der Bedingung, daſs sich zwei Ecklinien unter rechtem Winkel schneiden, durch die Kreislinie genügt, die AB zum Durchmesser hat. Die Gleichung 2) stellt demnach eine Kreislinie über AB dar.

Ist dagegen das Dreieck veränderlich und der Schnittpunkt der Ecklinien fest, so werden dadurch die Beziehungen zwischen den von diesem Punkte, in dem sich zwei Ecklinien recht- winkelig schneiden, auf die Seiten des veränderlichen Dreiecks gefällten Löthe ausgedrückt.

Um die Kreislinie über AC zu erhalten, haben wir ᷣ— G&= R zu setzen. Dieselbe erscheint dann in der Gleichung:

3) pipz cos+ pips+ paps cos α— pa² cos G= 0. Für die Kreislinie über BC ergibt sich analog: 4) pipe+ Pips cos+ paps cos G— pas cos= 0. Suchen wir nun das Dreieck zu bestimmen, in welchem sich die Kreise über den Seiten in einem Punkte schneiden. Zu dem Zwecke bestimmen wir die Werthe von cos, cos 9, cos y in den Gleichungen — cos α. ps²+ cos 9. pzps+ cos y. pips=— pipz + cos α. pips+ cos 9. pipz— cos y. pi²=— paps + cos a. pzps— cos 9. pz²+ cos y. pipz=— pipa