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. Da FL AB und FL. BC, so ist LBIAF ein Kreisviereck und+‿ BLLI= X+BFLI =); ebenso ist

X+BLIL= X BFL= a; LLi ist demnach antiparallel zu AC; in gleicher Weise wird bewiesen, daſs MMi und NNu bez. antiparallel zu AB und BO sind.

1 b) LL= MM= NN.

LLi und MMi und NNu bestimmen sich aus den Proportionen:

LL: LB.= sin 8: sin 7

MMr: ME= sin †: sin 9

NN: AN= sin«: sin p.

Es ist LB= c sin? a MG= a sin² 9 AN= b sinz²„, also LL= L aina.— c sin a sin sin& MCsin;/f. MM.= a sin sin„ NN= ANsina= b sin a sin y. S1n 7 Da csina= a sin y und a sin G= b sin«, so ist

LLi= MMi= NNi. Multiplicirt man obige Gleichungen, so entsteht LLi³= abc sin a sinz sinz„.

2) Die Punkte M, Mi, N, Ni, EL, Lu liegen auf einem Kreise, concentrisch dem Kreise, der die Seiten des Dreiecks KIH berührt.

Es ist

CLi= a sin y cos y; LN= b cos y cos y, CM= bsin a sin G; CMi= a sin a sin g; demnach CL. CM= CN. CM= ab sin« sin siny cos y.

Die Punkte Mi, N, Li, M liegen auf einem Kreise. Da+ I ML=+ IIn M= a, so ist △ MILA gleichschenkelig und da LL,= MMi, auch LIM gleichschenkelig; demnach liegen die Punkte L, Mi, M, La auf einem Kreise. Nun ist durch die Punkte Mi, M, Li der Kreis bestimmt; die Punkte Ni, L müssen folglich auf seiner Peripherie liegen; das Gleiche gilt für Ni. Daſs der Mittelpunkt der Schnittpunkt der die Winkel des Dreiecks halbirenden Geraden ist, ersieht sich aus dem Vorhergehenden.

3) Die Geraden LLi, MMi, NNI halbiren bezüglich die Seiten des Höhendreiecks GDF.

Es ist X&△ DlAF rechtwinkelig.

+ HLiD=+ HDIA= a ID= HIA= HFE.

Eben so wird bewiesen, dals GI GK

LI= IF, MK= KD.