11

I= 93— R II 9= 92— R III d= 1— R, und es entstehen die Gleichungen der Lothe(Fig. 7) AD: r sin(9— G) sin(92— 91)= pi cos(92— 93)— pe cos(9s— 91) BF: r sin(d—) sin(91— 93)= ps cos(91— 92)+ pi cos(92— 93) CG: rsin(91— 9) sin(98— 92)= ps cos(92— 91)— pe cos(91— 93). Dieselben werden zu AD: r'sin a sin G= pi cos y— pa cos 8 CG: rsiny sin(G+%)= ps cos— pa cos BF: rsin sin(—)= ps cos α— pi cos y. Leicht ersieht man, dals dieselben durch einen Punkt gehen, und es ergibt sich der Ab- stand desselben von den Seiten aus den Gleichungen:.

pi cos— pa cos 9 x— 0 *— pz cos Gβ+ ps cos a«= pic Ppe b+ pz a= 2.

Es wird gefunden

2 cos α cos 9

14 S a cos G cos+ b cos cos+ cos a cos 8β 2] cos cos

bz= aà cos cos+ b cos a cos Oc cos a cos 9 2 cos G cos„

Ps=

a cos G cos+ b cos cos+ cos cos Das Verhältniſs der Abstände des Schnittpunktes der Höhen von den Seiten ist demnach ausgedrückt durch pr: pz: ps= cos a cos G: cos cos: cos cos„ 14 18 1 cos y cos Gβ cos α

§ 7. Ein Lehrsatz des Dreiecks.

Verbindet man die Fuſspunkte der von den Fufspunkten der Höhen eines Dreiecks auf die beiden anderen Seiten gefällten Lothe mit einander, so ergeben sich folgende Sätze:

1) Die Verbindungsstrecken sind gleich und der dritten Seite bez. antiparallel.

2) Ihre Schnittpunkte mit den Seiten des Dreiecks liegen auf einem Kreise, concentrisch dem Kreise, der die Seiten des von ihnen gebildeten Dreiecks berührt. Die Schnittpunkte mit den Verlängerungen der Seiten liegen auf einer Geraden.

3) Sie halbiren bez. die Seiten des Höhendreiecks.

Das Dreieck sei ABC(Fig. 8); die Höhen desselben AD, BF, CG; die von den Fuſs- punkten derselben auf die Seiten gefällten Lothe FL, FLi; DN, DNr; GM, GM; die Ver- bindungsstrecken der Fuſspunkte derselben LLi, MMi, NN, so ist

1 a) Lu antiparallel AC u. s. w. 2*