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8 2. Die Gleichung der Linie, die durch den Schnittpunkt zweier Geraden geht.
Die Geraden seien AB und B0(Fig. 2). Für jeden Punkt der Geraden, die durch B geht, ist das Verhältniſs der von ihm auf AB und BC gefällten Lothe gleich dem Verhältnisse der sinus der Winkel, welchen die Gerade mit den Schenkeln des Winkels ABC bez. bildet; denn für jeden Punkt der Geraden BD z. B. für F besteht die Proportion:
FG FB sin ABD sin ABD
FHI TB sin CBD sin CBD Es seien die Gleichungen der Geraden AB und BC bezüglich r cos(91—%)= pi r cos(92— G)= pe, OF= u;, so ist, je nachdem O aufserhalb oder innerhalb des Winkelraums liegt, FG= † lrt cos(94— 9)— Pi. FH= rr cos(62—„)— pe
und
—
1) ri cos(91— G) P Sin ABD ri cos(91— G)— pe sin DBC Diese Gleichung gilt für jeden Punkt der Geraden BD; also kann r anstatt ri gesetzt werden. Nennen wir den Winkel, den das Loth auf BD mit der Achse OX bildet, 9, so ist, wenn O auſserhalb des Winkelraums liegt + DBA=+ DsOD.= 4— 91 + DBC=+ D.ODs=— 9, wenn O innerhalb des Winkelraums liegt + DBA= 9— 91— 2R
X+ DB0= 92— 9 und die Gleichung 1) geht also über in r cos(91— O)— po sin(9— 91) sin(— 91— 2R) r cos(52— G)— pe in(92— 9) sin(92— 9)
Die Gleichung bleibt also dieselbe, ob der Pol im Winkelraum oder auſserhalb des- selben liegt und sie kann in der Form geschrieben werden: 2) r ſcos(91r— G) sin(92— 9)— cos(92— G) sin(ꝙꝗ—— 91)]= pr sin(92— 9)+ pa sin(9— 91) Nun ist cos(91— †) sin(92— 9)= cos 91 sin 9½ cos cos ϑ˙— cos 91 cos 9½ cos G sin 9 + sin 91 sin 92½ sin cos— sin 91 cos 9½ sin— sin 9 cos(92— G) sin(9—)1= sin 961 cos 9½ cos& cos 9— cos d½ cos 91 cos& sin 9 + sin 91 sin 92 sin cos ˙˙— sin 9½ cos 91 sin— sin ⁹ Subtrahiren wir die beiden Gleichungen von einander, so entsteht cos(91— O) sin(92— 91)— cos(9½— ꝙ) sin(9— 91)= cos(6—&) sin(92— 91) Die Gleichung der durch den Schnittpunkt zweier Geraden gehenden Linie ist demnach sin(92— G„ 2 sin(9.— 91 3) r cos(9—)= P Ain 55) G Um die Gleichung der im Punkte B auf DB senkrechten Geraden zu erhalten, muſs in 3) 9— R anstatt 9 gesetzt werden. Es entsteht dann