Analytisch-geometrische Untersuchungen.

I. Geometrie des Dreiecks.

§ 1. Die Gleichungen der Geraden und der zu ihr Parallelen und Senkrechten.

Wir nehmen als Hiilfsmittel für unsere Untersuchungen zunächst das Polarcoordinaten- system. Wenn in Fig. 1. O der Pol, OX die Achse des Systems ist und das Loth auf die Gerade AB, OD= p, mit der Achse den Winkel o bildet, so gilt für irgend einen Punkt der Geraden, dessen Radius vector mit der Achse den Winkel macht, die Gleichung

r cos(9— 9)= p, wobei vorausgesetzt wird, dals der Winkel entsteht, indem sich das Loth der Geraden in der Richtung von rechts nach links dreht, bis es mit der Achse OX zusammenfällt. Ist DiF ein Loth der Geraden AB, so gilt bezüglich des Winkels, den das Loth ODa mit der Achse OX macht, die Beziehung DiOX= DiOD+ DOX oder DiOX= 3R+ o= 4R+(— R) Die Gleichung der Geraden DiF wird also sein r cos(— R— G)= OD= pi oder r sin(9—%)= pr

Wird pi= 0, so geht die Gerade durch den Pol. Die Gleichung einer durch den Pol gehenden Geraden, die auf der Geraden r cos(9—)= p senkrecht steht, ist demnach 9.= F, während für die Gerade AB, wenn sie selbst durch den Pol geht, gilt

cos(9— G)= 0 oder cos(— 9„)= 0, woraus folgt%=+ R.

Ziehen wir zu AB die Parallele CG, deren Abstand von AB= u ist, so besteht, je nachdem der Abstand der Geraden CG vom Pol gröſser oder kleiner als p ist, für irgend einen Punkt der Geraden CG die Gleichung

3 ri cos(9˙—)— p=+u Die Gleichung der Parallelen zur Geraden AB ist demnach r cos(9—%)— p= X u