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enthalten ſind, können heute auch in den Elementen der Geometrie nicht mehr entbehrt werden..

Von dieſer Grundlage ausgehend, betrachten wir irgend eine Figur in einer allgemeinen und in gewiſſer Beziehung unbeſtimmten Lage im Verhältniß zu allen denjenigen, die ſie einnehmen kann, ohne die Geſetze, die Bedingungen, das Band zu verletzen, welche zwiſchen den verſchiedenen Theilen des Syſtems beſtehen, nehmen wir an, daß man nach dem Gegegebenen eine oder mehrere Beziehungen oder Eigenſchaften, ſeien ſie metriſcher oder deſkriptiver Natur, der Figur angehörend, gefunden habe, indem man ſich auf das gewöhnliche, explizite Raiſonnement geſtützt hat, d. h. auf den Gang, den man allein als ſtreng be⸗ trachtet, iſt es dann nicht einleuchtend, daß, wenn man unter Beibehaltung des⸗ ſelben Gegebenen die urſprüngliche Figur in unmerklichem Grade ſich ändern läßt, oder wenn gewiſſen Theilen dieſer Figur eine beſtändige, übrigens beliebige Bewegung ertheilt wird, iſt es dann nicht einleuchtend, daß die Eigenſchaften und Beziehungen, die für das eine Syſtem Fefnden wurden, auch für die ſucceſſiven Zuſtände dieſes Syſtems anwendbar bleiben werden, vorausgeſetzt, daß man auf die beſonderen Modifikationen Rückſicht nehme, die ſtattfinden können, wie wenn z. B. gewiſſe Größen verſchwunden ſind, den Sinn oder das Zeichen verändert haben, Modifikationen, die immer a priori oder nach ſicheren Regeln zu erkennen ſind..

Ohne Bedenken würde man das wenigſtens aus dem impliziten Raiſonne⸗ ment ſchließen, und das iſt es, was in unſeren Tagen ziemlich allgemein als eine Art Axiom zugelaſſen iſt, deſſen Evidenz unbeſtreitbar iſt und nicht bewieſen werden muß. Zeuge dafür iſt das Prinzip der Korrelation der Figuren, welches Carnot in ſeiner Géométrie de position zugelaſſen hat, um die Regeln der Zeichen aufzuſtellen, Zeuge das Prinzip der Funktionen, das von unſern größten Mathematikern angewendet wurde, um die Grundlagen der Geometrie und Mechanik zu legen, 5— die Infiniteſimalrechnung, die Theorie der Grenzen, die Theorie der Gleichungen und alle Schriften unſerer Zeit, in welchen eine gewiſſe Allgemeinheit der Auffaſſung herrſcht.

Dieſes Prinzip, welches, wie geſagt, von den bedeutendſten Geometern als Axiom betrachtet wird, iſt gewöhnlich als Prinzip der Continuität bekannt. Ein Beiſpiel ſoll zeigen, wie wenig es und ſelbſt in der alten Geometrie möglich iſt, dieſe Art von Raiſonnement, das Prinzip der Continuität, abzuweiſen. Wenn es ſich darum handelt, die Aehnlichkeit der Dreiecke, deren Seiten normal zu einander ſind, nachzuweiſen, ſetzt man, wenn das Raiſonnement allgemein ſein ſoll, die Eigenſchaften der nicht konvexen Vierecke voraus. Légendre weiſt nun zwar in ſeinen éléments de géométrie, einem Werke, das durch die Strenge der Beweisführung und der Prinzipien bekannt iſt, den Satz für alle Fälle nach; aber es wäre leicht, den Beweis ohne Beſchränkung für den allgemeinen Fall zu führen, daß, anſtatt ſenkrecht zu ſein, die Seiten irgend welche gleiche Winkel einſchlöſſen. Es würde hinreichen, vorauszuſetzen, daß eines der Dreiecke ſich um einen beliebigen Winkel drehe. Es würde mich zu weit führen, wollte ich die Bedingung der Anwendung des Prinzips der Continuität weiter ausführen. Vorſicht iſt hierbei nothwendig wie bei Zulaſſung des Schluſſes der Analogie oder der Induktion, die oft truͤgen. Es genügt mir, angedeutet zu haben, welche Allgemeinheit und Ausdehnung dieſes Geſetz der Geometrie geben kann.

Dabei will ich die Vorzüge der euklidiſchen Geometrie nicht gering an⸗